Уравнение теплопроводности в этом случае будет иметь вид
2t 0x2
Сделаем по координате x шаг сетки, равный 1 мм. По толщине стенки получим четыре точки
Градиент температуры ∂t/∂x=q/ =10 оС /мм.
Рассмотрим вариант решения задачи, при котором не будем использовать дополнительных виртуальных узлов.
t,oC
q
40
t0=20 oC
20
0 |
1 |
2 |
3 |
x,мм |
Одномерная задача теплопроводности
Система уравнений МКР в случае отсутствия виртуальных узлов
t2t3
t0 20
2t12 t0 0x
2t2 t1 0x2
t3 t2 10
x
Решение |
t1=300C, t2=400C, t3=500C. |
Система уравнений МКР в случае наличия виртуального узла
|
|
|
|
t0 |
|
20 |
|
|
||||||
t |
2 |
2t |
|
t |
0 |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||
t |
|
|
|
t |
|
|
||||||||
|
2t |
|
|
|
0 |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
t4 2t3 t2 |
0 |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
t |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
10 |
||||||||
|
|
|
2 x |
|
||||||||||
Для граничных условий первого рода на границе вместо производной нужно было бы задать температуру.
Решение одномерных нестационарных задач
Используют явный и неявный методы В явном методе последующие вычисления в следующих
точках сетки по времени базируются на результатах предыдущих вычислений. В неявном методе нужно составить полную систему уравнений, которую затем численно решить. Явные методы по сравнению с неявными имеют большие ограничения по устойчивости
Рассмотрим варианты шаблонов для одномерной нестационарной задачи теплопроводности. В этом случае уравнение теплопроводности имеет вид:
t a 2t2x
При использовании правой и левой разностных схем для аппроксимации производной по времени применяется четырехточечный шаблон.
Введем следующие обозначения:- шаг по сетке времени;
ti, j - значение температуры в точке i в момент времени j.
i,j+1
i-1,j |
i,j |
i+1,j |
Шаблон явного метода
Разностная аппроксимация дифференциального уравнения теплопроводности для i –ой точки в момент времени j для явного метода
ti, j 1 ti, j |
a |
ti 1, j 2ti, j |
ti 1, j |
|
|
x2 |
|
Значение температуры в следующий момент времени
ti, j 1 |
a |
ti 1, j 2ti, j |
ti 1, j |
ti, j |
x2 |
|
|||
|
|
|
|
Пример. Имеем плоскую стенку толщиной 3 мм. В момент времени =0 одна поверхность стенки остается при начальной температуре t=200С,
другая начинает поддерживаться (термостатироваться) при температуре 800С. Начальное распределение температуры – равномерное с температурой t(x,0)=200С.
Коэффициент температуропроводности примем равным 10 -7 м2/c. Шаг сетки по координате x выберем равным
1мм, шаг сетки по времени выберем равным 1с.
Для данной задачи условие устойчивости вычислений имеет вид:
x2
2a
Результаты расчета по явному методу
j |
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
20 |
20 |
20 |
80 |
||
|
||||||
|
1 |
20 |
20 |
26 |
80 |
|
|
2 |
20 |
20,6 |
30,8 |
80 |
|
|
3 |
20 |
21,56 |
34,64 |
80 |
|
|
4 |
20 |
22,7 |
33,7 |
80 |
В рассмотренном примере x2/2a = 5.
Неустойчивый вычислительный процесс явного метода с шагом сетки по времени =10 с.
ji
0
1
2
3
4
0 |
1 |
2 |
3 |
20 |
20 |
20 |
80 |
20 |
20 |
80 |
80 |
20 |
80 |
20 |
80 |
20 |
-40 |
80 |
80 |
20 |
140 |
20 |
80 |
i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1
i,j
Шаблон неявного метода
Разностная аппроксимация дифференциального уравнения теплопроводности для i –ой точки в момент времени j+1 для неявного метода будет иметь следующий вид:
ti, j 1 ti, j |
a |
ti 1, j 1 2ti, j 1 ti 1, j 1 |
|
|
x2 |
При такой аппроксимации необходимо составить систему уравнений для точек сетки, которую потом нужно будет решать численными методами.