1 шаг прямого хода. Из второго-четвертого уравнений исключаем x1
-27 0 0 0
c21 c21 c21c11 c11
-36 8 0 0
0 ;
73 |
8 |
142 |
85/9 |
-184/9 |
-314/9 |
-8/9 |
53/9 |
16/9 |
43/3 |
-40/3 |
-86/3 |
c |
c |
22 |
c21c12 |
12 |
( 15)( 36) |
8 |
|
||||||
22 |
|
c11 |
|
27 |
||
|
|
|
|
|||
c |
c |
c21c13 |
50 |
( 15)(73) |
85 |
|
|||||
23 |
23 |
c11 |
|
27 |
9 |
|
|
|
2 шаг. Исключаем из третьего и четвертого уравнений x2. Поскольку с32 и с42 равны нулю, то матрица на этом шаге не изменится.
3 шаг. Исключаем x3 из четвертого уравнения
-27 |
-36 |
73 |
8 |
142 |
0 |
8 |
85/9 |
-184/9 |
-314/9 |
0 |
0 |
-8/9 |
53/9 |
16/9 |
0 |
0 |
0 |
653/8 |
0 |
c 86/ 3 |
(43/ 3)(16/ 9) |
0 |
|
||
45 |
8/ 9 |
|
|
||
Обратный ход
Из последней строки находим x4=0 Из третьей строки
x3 169 98 2
Из второй строки
x2 |
|
1 |
314 |
|
85 |
( 2) |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
||||||
8 |
9 |
9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из первой строки
x1 271 (142 36( 2) 73( 2)) 8
Лекция 5 Численное решение нелинейных уравнений
Численное решение нелинейных уравнений.
Решение нелинейного уравнения f(x)=0 или системы нелинейных уравнений состоит из двух этапов:
1)Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений.
2) Вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью.
Итерационный алгоритм отделения корня
Для начального приближения x0, найти f0=f(x0),
дать начальный интервал поиска D и его коэффициент асширения d >1.
2.Вычислить a=x0 - D, b=x0+D.
3.Увеличить интервал поиска: D=D*d.
Если интервал превысил некоторый заданный предел закончить поиск (интервал не найден).
4a. Если знаки fa и f0 отличаются, то считать корень окруженным на [a,x0] и выйти из алгоритма.
4b. Если знаки fb и f0 отличаются, то считать корень окруженным на [x0,b] и выйти из алгоритма.
4c. Если f0>0 (случай меньше нуля анализируется аналогично) перейти к 5.
Продолжение алгоритма отделения корня
5. Проверяется, какое значение из fa или fb является меньшим.
Если оба одинаковы, то переходим к 6a (двусторонний поиск), если fb - производим поиск вправо 6b, иначе - поиск влево 6c.
6a. Находим a=a-D, b=b+D, fa=f(a), fb=f(b), перейти к 3.
6b. Присваиваем последовательно a=x0, x0=b, fa=f0, f0=fb; находим b=b+D, fb=f(b), перейти к 3.
6c. Аналогично 6b, только направление поиска - влево.
Так как интервал поиска постоянно расширяется, то в конце концов используя указанный алгоритм корень будет локализован.
Метод бисекции
Пусть [a,b] - отрезок локализации.
Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков.
Алгоритм метода бисекции состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего.
Шаг метода бисекции
Пусть на k-ом шаге найден отрезок [ak,bk] такой, что f(ak)· f(bk)<0.
Найдем середину отрезка xk= (ak + bk)/2. Если f(xk)=0, то xk - корень и задача решена.
Если нет, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки:
ak+1= ak, bk+1= xk, если f(ak)· f(xk)<0
ak+1= xk, bk+1= bk , если f(ak)· f(xk)>0
Если длина отрезка локализации меньше , то итерации прекращают и в качестве значения
корня с заданной точностью принимают середину отрезка.
Метод Ньютона
Пусть уравнение записано в виде f(x)=0.
Если разложить f(x) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки xk и ограничиться первой производной,
то можно записать
f (xk ) |
f |
|
|
(x xk ) 0 |
|||
|
|||||||
f |
|
|
|
x |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x xk ) f (xk ) |
|||||
|
|||||||
x |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение дает очередное приближение к корню уравнения f(x)=0, которое обозначим как xk+1.