Поток событий наглядно можно изобразить последова- тельностью точек на оси времени
T1 |
T2 T3 |
0 |
t1 t2 |
t3 |
t4 |
Марковские процессы удобно представлять в виде графа
S1 |
|
21 |
|
|
|
13 |
12 |
S2 |
|
|
|
S3 |
|
23 |
Вероятность перехода из состояния Si в состояние Sj за время t связана с интенсивностью потока событий ij, переводящего систему из состояния Si в состояние Sj следующим выражением
ij lim Pij (t t)
t 0
Для простейшего потока интервал времени между соседними событиями подчиняется экспоненциальному закону распределения.
F( ) P(T ) 1 e
Показатели эффективности СМО
Вероятность обслуживания - это вероятность того, что произвольно выбранная из входящего потока с интенсивностью заявка будет обслужена, т.е. окажется в потоке обслуженных заявок с интенсивностью об
Pоб= об /
= об+ отк , где отк - интенсивность потока заявок, получивших отказ.
Вероятность отказа |
Pот=1 - Pоб |
Pот= Pпр+ Pоб+ Pож , |
|
где Pпр - вероятность отказа при приходе; Pоб - вероятность отказа при обслуживании; Pож - вероятность отказа при ожидании.
Среднее время ожидания |
tож |
t |
ож dF (tож ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tп tож tобсл
Средняя длина очереди
представляет собой математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди. Для ее определения в общем случае необходимо знание совокупности вероятностей Pожi (вероятности нахождения в очереди i заявок)
|
|
|
n |
|
|
|
iPожi |
|
|
l |
где n – число мест в очереди. |
|||
|
|
|
i 0 |
|
Среднее число занятых каналов обслуживания |
||||
|
|
|
m |
|
N з |
iPзанi |
где m – число каналов в системе, |
||
i 0
Pзанi вероятность того, что в произвольный момент времени занято обслуживанием i каналов.
Среднее число заявок в системе - математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди или в каналах
обслуживания
z l N з
Аналитические модели СМО
Основой построения аналитических моделей СМО являются
уравнения Колмогорова
Изменение вероятности Pi нахождения системы в состоянии Si за время t есть вероятность перехода системы в состояние Si, из любых других состояний за
вычетом вероятности перехода из состояния Si, в другие
состояния за время t
Pi ( t) Pi (t t) Pi (t) Pji ( t)Pj (t) Pik ( t)Pi (t)
j J k K
где Pi(t) и Pj(t) — вероятности нахождения системы в состояниях Si и Sj соответственно в момент времени t, a
Pji( t) и Pik( t) — вероятности перехода из состояний в течение времени t ; J и К— множества индексов инцидентных вершин по отношению к вершине Si по
входящим и исходящим дугам на графе состояний соответственно.
Разделив на t и перейдя к пределу при t 0, noлучим
lim Pi |
( t)/ t (limPji ( t)/ t)Pj (t) (limPik ( t)/ t)Pi (t) |
|
t 0 |
j J t 0 |
k K t 0 |
Откуда |
dPi |
ji Pj Pi ik |
|
|
|||
|
dt j |
k |
|
Встационарном состоянии при t dPi/dt = 0
ji Pj Pi ik
j |
k |
Лекция 13. Примеры аналитической
модели СМО. Имитационное моделирование СМО.
Одноканальная СМО с простейшим входным потоком интенсивностью и с длительностью обслуживания, подчиняющейся экспоненциальному закону распределения с интенсивностью . Будем рассматривать случай, когда СМО не имеет отказов
|
|
|
0 |
|
i |
|
|
|
P0 P1 0
P0 ( )P1 P2 0P1 ( )P2 P3 0
………………
P1 P0 P0
где = / - приведенная интенсивность потока заявок
|
P |
( )P1 P0 |
(1 )P P 2 P |
|
||||
|
|
|
||||||
|
2 |
|
1 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
( )P2 P1 |
(1 )P P 2 P 3 P |
||||||
|
||||||||
2 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установившийся режим возможен только при < 1