Результат расчета с использованием неявного метода для трех первых узлов сетки времени.

Лекция 7.

Решение двухмерных задач. Устойчивость, сходимость и погрешность конечно- разностных аппроксимаций.

Составление разностных уравнений рассмотрим на примере температурного поля пластины. На трех сторонах пластины поддерживаются постоянные температуры t1, t2, t3 на

четвертую сторону падает тепловой поток q.

Двухмерное стационарное уравнение теплопроводности:

2T 2T 0x2 y2

В качестве шаблона будет использован двухмерный шаблон

Для внешних узлов на сторонах, где температура поддерживается постоянной, нужно записать равенства температурам t1, t2 и t3. Для четвертой стороны:

Учет нелинейности границ

Пусть граничный узел находится между двумя узлами сетки A и B

x x

В этом случае конечную разность можно представить в следующем виде

Погрешность аппроксимации первой производной правой разностью

Погрешность аппроксимации первой производной левой разностью

Погрешность аппроксимации второй производной

2 x4 4 F .....

12 x4

Основная идея метода конечных элементов.

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на аппроксимации не производных, а самого решения F(X). Поскольку оно заранее не известно, то аппроксимация выполняется выражением с неопределенными коэффициентами qi:

U(X)=Q (X)

где Q=(q1, q2,……. qn) вектор неопределенных коэффициентов,(X) –матрица опорных функций.

После подстановки U(X) в исходное дифференциальное уравнение L F(X)=V(X), где L- дифференциальный оператор,

получим систему невязок

L (Q (X)) - V(X)= 0