- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
38. Правило Лопиталя.
Теорема – Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют условиям – 1) определены и дифференцируемы на полуинтервале (a; b]; 2) пределы при хa ; 3) существует предел отношения производных . Тогда существует предел отношения функций , т.е. .
39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
Теорема 1 (признак монотонности) – Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и f’(x)0 на интервале (a; b), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на этом интервале. Точка х0 называется точкой строгого локального экстремума, если для всех х из некоторой ∆-окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)<f(x0) (max) или f(x)>f(x0) (min).
Теорема 2 (необходимое условие локального экстремума) – Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f’(x0)=0. Геометрический смысл – Есть точки локального экстремума и в них существуют касательные || Ох – точки стационарные (возможного экстремума). Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума) – Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки х0. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак с + на -, то точка х0 – точка max, если наоборот, то – точка min, если же знак не меняется, то экстремума в точке нет. ВЫПУКЛОСТЬ??? Ассимптоты.
40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
Функция 2-х переменных – правило, по которому каждой паре чисел (х; y) из множества М соответствует 1 число при условии, что каждое число соответствует хотя бы 1-ой паре (х; у)ϵM. М – область определения функции. Эллиптический параболоид – . Окрестностью точки р0 (х0; y0) называется внутренность круга с центром в этой точке. Число b – предел функции 2-х переменных f(p) при pp0, если для любого ε>0 есть ∆-окрестность точки P0(x0; y0), что для любой точки P(x; y) имеет место |f(P)-b|<ε – . Функция 2-х переменных – б.м., если . Функция непрерывна в точке P0, если 1) функция определена в точке P0; 2) существует ; 3) . Функция непрерывна в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Частная производная – . Обозначается f’x=(x0; y0). Разность f(x0 + ∆x0, y0) – f(x0; y0) – частное приращение по х в точке Р0 и обозначается ∆хz. Частная производная – f'x(x0; y0) = . Частные производные переменных – функции тех же переменных. Если эти производные взяты по нескольким различным переменным – смешанные производные. Теорема – Смешанные частные производные 1-ой и той же функции, отличающиеся только порядком дифференцирования = между собой при условии их непрерывности.
41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
Функция z=f(x; y) дифференцируемая в точке P(x; y), если ее полное приращение ∆z – . Главная часть приращения функции – полный дифференциал этой функции. Обозначается dz=A∆x+B∆y. Теорема – Если функция z=f(x; y) в точке P(x, y) дифференцируема, то она имеет в точке Р – 1-ые частные производные и , которые равны А и В соответственно. Выражение для дифференциала – . Приближенные вычисления – .