- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
ДУ – связывает независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и ее производные f’(x), f”(x) … fn(x) или дифференциалы df, d2f … dnf. ДУ в общем виде – F(x, y, y’, …, y(n)) = 0. Если искомая функция лишь 1-го аргумента, то ДУ – обыкновенное. ДУ в частных производных – . Порядок ДУ – порядок наивысшей производной ДУ. Общее решение ДУ порядка n – функция y=f(x, C1, …, Cn). F(x, y, C1, …, Cn)=0 – общий интеграл. ДУ 1-го порядка – связывает независимую переменную х, искомую функцию у=f(x) и ее производную y’(x) – F(x, y, y’)=0. Процесс нахождения решения ДУ – интегрирование ДУ. Теорема Коши (существования и единственности решения ДУ 1-го порядка) – Если правая часть f(x, y) ДУ y’=f(x, y) и ее частная производная f’y(x, y) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных x, y, то какова бы ни была внутренняя точка (x0, y0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение y=ϕ(x), принимающее при х=х0 заданное значение у=у0.
55. ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными.
ДУ с разделяющимися переменными – y’= f1(x) ∙ f2(x). Заменим y’= и разделим на f2(y), умножим на dx – . В итоге интегрируя получим – .
56. Однородные ду 1-го порядка.
ДУ называется однородным, если его можно записать в виде . В однородном уравнении переменные не разделяются, но может быть легко преобразовано в него. Необходимо ввести новую переменную y=xz и продифференцировать – . Разделяя переменные, получаем – Интегрируем – .
57. Линейные ду 1-го порядка.
Линейное ДУ 1-го порядка – . Если f(x) – линейное однородное (наоборот, неоднородное). Для нахождения общего решения есть 2 метода – 1) метод подстановки Бернулли; 2) метод Лагранжа (вариации произвольной прямой). y=uV, y’=u’V+V’u. Подставляем, делим переменные – . Подставляем в начальное, находим u=. Подставляем в y и получаем общее решения.
58. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
ДУ 2-го порядка – F(x, y, y’, y”)=0 или y”=f(x, y, y’). Теорема Коши – Пусть правая часть f(x, y, y’) и ее частные производны f’y(x, y, y’) и f’y’(x, y, y’) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных y, x, y’. Тогда какова бы ни была внутренняя точка из G, данное уравнение имеет 1-ое решения y=ϕ(x), удовлетворяющее начальным условиям y(x0)=y0 и y’x0=y’0. Простейшие ДУ, допускающие понижение порядка – y”=f(x); y”=f(x, y’); y”=f(y, y’). Рассмотрим y”=f(x). Заменим y’=V(x), тогда y”=V’(x). Уравнение примет вид V’=f(x), тогда V=. Тогда y=.
59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
Линейное ДУ 2-го порядка - . Если b(x) = 0, то однородное. Теорема 1 – Если функции y1=y1(x) и y2=y2(x) являются решениями ЛОДУ, то и функция y=C1y1(x)+C2y2(x) тоже решение этого уравнения при любых С. Фундаментальная система решений – 2 частных решения y1(x) и y2(x) на интервале (α; β), если ни в одной точке этого интервала определитель Вронского Теорема 2 (о структуре общего решения) – Если 2 частных решения образуют на интервале фундаментальную систему, то общее решение – y=C1y1(x)+C2y2(x). При этом все коэффициенты а непрерывны и ≠ 0 на этом интервале. 2 функции линейно-зависимые на интервале, если существуют такие числа λ1 и λ2, из которых хотя бы 1 ≠ 0 и выполняется равенство λ1у1(х)+λ2у2(х)=0. Если же оба числа = 0, то функции линейно-независимые. Если 2 частных решения линейно-зависимые, то они не образуют фундаментальную систему.