- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Вектор M1M лежит на прямой и коллинеарен вектору s, поэтому имеем M1M = t∙s, где t – скалярный множитель (параметр). Векторное уравнение прямой – r = r1 + t∙s (через радиус-векторы). Параметрические уравнения прямой – ; Канонические уравнения прямой – ; Уравнения прямой, проходящей через 2 данные точки – . Угол между 2-мя прямыми – 1 из 2-х смежных углов, образованных этими прямыми – . Свойства: 1) 2 прямые || если . 2) 2 прямые перпендикулярны, если m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0
16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая и плоскость – 1) Перпендикулярны друг другу тогда, когда n || s, т.е. . 2) || друг другу тогда, когда n ┴ s, т.е. Am + Bn + Cp = 0. Угол между прямой и плоскостью – . Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, необходимо воспользоваться параметрическими уравнениями, а сам параметр мы можем найти так: .
17. Полярная система координат.
Система координат на плоскости – способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ох, называемым полярной осью, и единичным вектором е того же направления, что и луч Ох. Положение произвольной точки на плоскости определяется заданием 2-х чисел… Угол ϕ – полярный угол, r – полярный радиус (все в совокупности является полярными координатами).
18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
Кривые 2-го порядка – линии, определяемые уравнением 2-ой степени относительно текущих координат. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до 2-х данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Эллипс – овальная замкнутая прямая. Отношение половины расстояния между фокусами к большей полуоси эллипса – эксцентриситет. Прямые – директрисы. Теорема – Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до фокуса, d – расстояние от этой точки до директрисы, то отношение есть постоянная величина = эксцентриситету. Гипербола – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до 2-х данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Гипербола равносторонняя, если ее полуоси =. Ассимптоты такой гиперболы – биссектрисы координатных углов. Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
Поверхность, образованная движением прямой, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую – цилиндрическая поверхность (цилиндр). Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку и пересекающими данную плоскую линию (не проходящую через точку) – коническая поверхность (конус). Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, определяемую уравнением, как поверхность, состоящую из 2-х полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш.