- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
Пусть y=f(x) определена на всей числовой прямой (-∞; +∞). Число А – предел функции при , если для любого ε>0 существует такое число M=M(ε), что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A|<ε – . Геометрические смысл – Для любого ε>0 существует число M>0, что для всех х ϵ (-∞; -M) и x ϵ (M; +∞) соответствующие значения f(x)=y попадают в ε-окрестность точки А, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми y=A-ε и y=A+ε.
24. Бесконечно малые функции и их свойства.
Бесконечно малая y=f(x) – при , если . Обозначаются α,β… Пример y=x4 при , y=x+5 при . Теорема – Алгебраическая сумма конечного числа б.м. функции есть б.м. Есть 2 б.м. α(х) и β(х) при , значит . Для любого ε>0 и есть ∆>0, что для всех х удовлетворяющих 0<|x-x0|<∆ выполняется |α(x)|<. Также и для β(x). Имеет место соотношение |α(x)+β(x)|<=ε. Таким образом , т.е. α(x) + β(x) – б.м. Теорема – Произведение ограниченной функции на б.м. функцию – есть функция б.м. Следствие – произведение б.м. на число – есть б.м. и т.к. б.м. ограничена, то произведение 2-х б.м. есть б.м. Теорема – Частное от деления б.м. на функцию, имеющую ≠ 0 предел – есть б.м.
25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
Бесконечно большая y=f(x) – при , если для любого M>0 есть ∆>0 зависящее от М, что для всех х=0<|x-x0|<∆ выполняется |f(x)|>M. Пример y=3x при . Б.м. и б.б. тесно связаны. Теорема – Если α(х) – б.м. (α≠0), то – б.б. и наоборот. Пусть α(х) – б.м. при , тогда , где , значит – б.б. Аналогично и обратное утверждение. Все док-ва теорем работают и для случая когда
26. Основные теоремы о пределах.
Теорема 1 – Если f(x) имеет предел = А, то ее можно представить, как сумму числа А и б.м. α(х), т.е. если , то f(x)=A+α(x). Теорема 2 (обратная предыдущей) – Если f(x)=A+α(x), то . Теорема 3 – Предел суммы (разности) 2-х функций = сумме (разности) их пределов – . Пусть , тогда по теореме 1 – f(x)=A+α(x) и ϕ(x)=B+β(x) – б.м. при . Тогда f(x)+ϕ(x)=A+α(x)+B+β(x). Сумма α(x) и β(x) – б.м., тогда по теореме 2 число A+B – предел f(x)+ϕ(x), т.е. . В случае разности все аналогично. Теорема 4 – Предел произведения 2-х функций = произведению их пределов – . В частности , где nϵN. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Теорема 5 – Предел дроби = пределу числителя деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя ≠ 0. Теорема 6 (о пределе промежуточной функции) – если f(x) заключена между 2-мя функциями ϕ(x) и g(x) к одному пределу, то она также к этому пределу, т.е. , то
27. Первый и второй замечательный пределы.
1-ый замечательный предел – 2-ой замечательный предел – , если положить
28. Сравнение бесконечно малых функций.
2 б.м. функции сравниваются с помощью отношения. Сумма, разность и произведение б.м. – есть б.м. Отношения бывают – конечным числом, б.б., б.м. или не стремиться ни к какому пределу. Пусть α(х) и β(х) – 2 б.м. (т.е. ) – 1) Если , где с ϵ R, то α(x) и β(x) б.м. 1-го порядка. Если с=1, то α(x) и β(x) эквивалентные б.м. 2) Если , то α(x) б.м. более высокого порядка, чем β(x). 3) Если , то α(х) б.м. более низкого порядка. 4) Если не существует, то α(x) и β(x) несравнимые б.м. Таковы сравнения б.м. при . Теорема – Предел отношения 2-х б.м. не изменится, если каждую или 1 из них заменить эквивалентной ей б.м. 1). При x0