- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
y=f(x) непрерывная в точке х0 – 1) f(x) – определена в точке х0 и ее окрестности 2) существует предел при хх0 3) предел при хх0 = значению функции в точке х0. Следствие – при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции. Если то f(x) непрерывна справа от 0. Аналогично и слева. Пусть f(x) определена на некотором интервале (а,b). Возьмём произвольную точку 𝑥0∈(𝑎,𝑏) для любого 𝑥∈(𝑎,𝑏) разность 𝑥−𝑥0 – приращение аргумента x в точке 𝑥0, обозначается ∆𝑥. Отсюда 𝒙-𝒙0=∆𝒙. Разность соответствующих значений 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)−приращение f(x) в точке 𝑥0 и обозначается ∆𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0), значит ∆𝒚=𝒇(𝒙0+∆𝒙)−𝒇(𝒙0), значит,=𝟎 или . y=f(x) непрерывна в точке х0, если она определена в данной точке и ее окрестности, и выполняется предыдущее равенство, т.е. б.м. значению ∆х соответствует б.м. приращение ∆у. y=f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] если она определена на интервале (𝑎,𝑏) и непрерывна слева в точке а и справа в точке b. Точка 𝒙0 − точка разрыва y=f(x), если она принадлежит области определения f(x) или её границе и не является точкой непрерывности. 𝒙0 – точка разрыва 1-го рода, если в этой точке существуют конечные пределы справа и слева, т.е. . При этом: 1) Если А1=А2, то точка 𝑥0 – точка устранимого разрыва; 2) Если А1≠А2, то точка 𝑥0 – точка неустранимого разрыва. |А1−А2| - скачок f(x) в точке разрыва 1-ого порядка. 𝒙0 – точка разрыва 2-ого порядка, если хотя бы 1 из односторонних пределов не существует или = ∞.
30. Свойства функций, непрерывных в точке.
Теорема – Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны в x0, тогда функция f(x) g(x); f(x) ∙ g(x); при g(x0) ≠ 0 – также непрерывны в этой точке. Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых или сомножителей.
31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
Теорема (1-ая теорема Больцано-Коши) – Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах имеет значение разных знаков, тогда существует точка 𝐶∈(𝑎,𝑏), в которой значение 𝑓(𝑐)=0. Геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, по отношению к оси, на другую, пересекает эту ось. Теорема (2-ая теорема Больцано-Коши) – Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(a)=A, f(b) = B. Пусть далее С – число (любое), заключённое между А и В, тогда на отрезке [a,b] найдётся такая точка с , что значение f(x) в этой точке равно C – f(С)=C (Другими словами: непрерывная f(x) при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения). Теорема (1-ая теорема Вейерштрасса) – Если f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке. Геометрический смысл: график f(x) не выходит из полосы, ограниченной y=-M, y=M. Теорема становится неверной, если в ней отрезок [a,b] заменить интервалом (a,b). Теорема (2-ая теорема Вейерштрасса) - Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своё наибольшее и наименьшее значения. f(x)<=f(x1)=M (max) и f(x)<=f(x2)=m (min)