60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Имеем y’’+py’+qy=0. Теорема 1 – Если число k – решение уравнения k²+pk+q=0 (характеристическое уравнение), то функция y=e^kx – решение уравнения. Теорема 2 (о структуре общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами) – 1) Если корни хар. уравнения действительные и различные, то общее решение – y=C₁e^k1x+C₂e^k2x; 2) Если корни действительные и равные, то общее решение – y=e^kx(C₁+C₂x); 3) Если корни комплексные (k₁=α+iβ, k₂=α-iβ), то общее решение –

61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.

Теорема (о структуре общего решения) – Общее решение уравнения y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение – .

62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Различные виды правой части – 1) f(x)=P_n(x)e^ax, где P_n(x) – многочлен n-ой степени – Если а не является корнем хар. уравнения, то , где Q_n – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами; Если а является корнем хар. уравнения, то . 2) – Если а+bi не является корнем хар. уравнения, то , где N – максимальная из степеней n или m; Если a+bi является корнем хар. уравнения, то .