- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
Производной y=f(x) в x0 называется предел отношения приращения функции ∆у к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х0. Обозначается f’(x0) = . Нахождение производной – дифференцирование этой функции. Механический смысл – Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t . Правой (левой) производной называется правое (левое) предельное значение (). Kкас. = f’(x0)
Теорема – Если функция U=f(x) имеет производную U’x в точке х, а функция y=f(U) имеет производную y’U в точке U, то сложная функция y=f(U(x)) в данной точке х имеет производную y’x = y’U ∙ U’x. Пусть функции y=f(x) и x=g(y) взаимно обратные, тогда если функция y=f(x) имеет производную ≠ 0, то обратная функция имеет производную .
33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал функции y=f(x) в точке х – главная линейная, относительно ∆х, часть приращения функции = произведению производной функции на приращение аргумента (dy(df(x))) – dy = f’(x)∙∆x Дифференциал dy – 1-го порядка. dy = f’(x)dx. Геометрический смысл – Из треугольника МАВ имеем , а поэтому , т.е. дифференциал y=f(x) в точке х = приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.
Теорема 1 – Дифференциалы суммы, произведения, частного 2-х дифференцируемых функций – 1) d(U+V)=dU+dV; 2) d(U∙V)=VdU+UdV; 3) . Теорема 2 – Дифференциал сложной функции = произведению производной функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого аргумента – dy=y’U∙dU. Если дифференциал функции определяется одной и той же формулой, независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента, то это инвариантность (неизменность) формы. – используется для вычислений приближенных значений функций.
34. Основные правила дифференцирования. Основные формулы дифференцирования.
Теорема – Если функция U=f(x) и V=V(x) дифференцируемы в данной точке х, то их сумма, разность, произведение и частность также дифференцируемы в этой точке. 1) ; 2) ; 3) .
35. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
Логарифмическая производная функции y=f(x) – производная от логарифма этой функции – . Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций – логарифмическое дифференцирования.
36. Производные и дифференциалы высших порядков.
Производной n-го порядка называется производная от производной предыдущей – . Пусть y=f(x) – дифференцируемая функция, а х – независимая переменная, тогда ее 1-ый дифференциал dy=y’dx – функция аргумента х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал n-го порядка – есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка (предыдущего) – dny=d(dn-1y)=f(n)(x)dxn. Видно, что .
37. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
Теорема 1 (Ферма) – Пусть функция f(x) определена на интервале (а; b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшие или наименьшие значения, тогда если в х0 существует конечная производная, то она = 0, т.е. f’(x0)=0. Теорема 2 (Ролля) – Пусть на отрезке [a; b] определена функция f(x), причем – 1) f(x) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) f(x) дифференцируема на интервале (a; b); 3) f(a)=f(b) – тогда существует с из интервала (a; b), в которой f’(c)=0. Теорема 3 (Лагранжа) – Пусть на отрезке [a; b] определена f(x), причем – 1) f(x) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) f(x) дифференцируема на интервале (a; b) – тогда существует с из интервала (a; b) такая, что справедлива формула . Теорема 4 (Коши) – Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b). Кроме того g’(x) ≠ 0, тогда существует точка с из интервала (а; b) такая, что справедлива формула .