42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.

Теорема 1 (необходимый признак существования экстремума) – если Р₀(х₀, у₀) – точка экстремума функции z=f(x,y), то f’_x(x₀, y₀)=f’_y(x₀, y₀)=0. В предположении, что указанные частные производные существуют в точке P₀(x₀, y₀). Теорема 2 (достаточные условия существования локального экстремума) – Пусть Р₀(х₀, y₀) – критическая точка функции z=f(x, y). Введем обозначения – Имеем , тогда 1) если ∆>0, A>0 или C>0, то функция имеет в точке Р₀ min; 2) если ∆>0, A<0 или C<0, то функция имеет в точке Р₀ max; 3) если ∆>0, то в точке Р₀ – экстремума нет; 4) если ∆=0, то экстремум может быть, а может и нет.

43. Комплексные числа и действия над ними. Изображения комплексных чисел на комплексной плоскости.

44. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

45. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

46. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

Первообразная от функции f(x) – функция F(x), производная которой = данной функции или дифференциал которой = f(x)dx. f(x)=x⁷ – F(x)=. Теорема 1 – любая непрерывная на отрезке функция имеет на нем первообразную. Теорема 2 – если F(x) первообразная от f(x) на отрезке, то всякая другая первообразная от f(x) отличается от F(x) на постоянное слагаемое, т.е. F(x)+C. Неопределенный интеграл – если F(x) 1 из первообразных f(x), то выражение F(x)+C – интеграл – . Свойства – 1) ; 2) 5) Алгебраическая сумма неопределенного интеграла нескольких функций = алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого.

47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.

1) Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций от каждой из которых первообразную можно найти с помощью других методов. 2) Введем вместо х новую переменную z, связанную с х соотношением х=ϕ(z). Имеет место равенство . 3) Пусть u=u(x) и V=V(x) – функции, имеющие производные. Знаем, что d(uV)=udV+Vdu. Интегрируя обе части получаем

48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.

Площадь всей криволинейной трапеции = сумме площадей всех n малых трапеций – .

Определенный интеграл – число = пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к 0. Геометрический смысл – Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямой y=f(x), где f(x)0 для всех х на отрезке [a, b] численно = определенному интегралу от f(x), взятому по этому отрезку: . Теорема (существования определенного интеграла) – Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция интегрируема, т.е. для такой функции есть определенный интеграл. Свойства – 1) ; 2) 5) если [a, b] разбит на части [a, c] и [c, b], то ; 6) если на отрезке f(x)0, то ; 7) если на отрезке [a, b], f(x)g(x), то . Теорема – если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то есть такая точка z, что .

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по его переменному верхнему пределу.

Если закрепить нижний предел а и изменять верхний предел b, то интеграл будет функцией своего верхнего предела. х=b – I(x)=, где t – переменная интегрирования. Теорема – Производная определенного интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и = значению подынтегральной функции в верхнем пределе – .

50. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема – Значение определенного интеграла = разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования –

51. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

1) 2) .

52. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.

y=f(x) определена в промежутке [a; +∞) и интегрируема в любой его части [a; R], т.е. существует определенный интеграл , при любом R>a, тогда если существует конечный предел при R – несобственный интеграл 1-го рода (сходится). Если предел не существует или = ∞, то несобственный интеграл расходится. Аналогично и с -∞. Пусть y=f(x) определена в промежутке [a, b). Точка х=b – особая, если f(x) не ограничена в окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке [a, b-ε], то она интегрируема на любом этом отрезке. – несобственный интеграл 2-го рода (сходится). Если предел не существует или = ∞, то несобственный интеграл расходится. Аналогично, если x=a. Если f(x) не ограничена в окрестности с ϵ [a, b], то полагают , при условии существования этих интегралов.