10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

Скалярным произведением называется число = произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (a∙b или (a; b)). Имеем a∙b = |a|*|b|*cosα. Свойства: 1) a∙b = b∙a. 2) a∙a = a² = |a|². 3) Если a ┴ b, то a∙b = 0. 4) Если a ≠ 0, b ≠ 0 и a∙b = 0, то a ┴ b. 5) Пусть λϵR, то λa∙b = a∙λb = λ(a∙b). 6) (a+b)∙c = a∙c + b∙c. Если вектора имеют свои координаты, то a∙b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Имеем . Скалярное произведение используется в математике, физике, для вычисления работы А=F∙S

11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

Векторным произведением 2-х векторов а и b называется вектор с для которого: 1) . 2) c перпендикулярно плоскости в которой можно расположить а и b – с ┴ b, c ┴ a. Свойства: 1) а х b = -b х а. 2) а х b = 0, когда a и b коллинеарны или хотя бы 1 из векторов = 0. 3) λа х b = а х λb = λ(а х b), где λϵR. 4) (a+b) x c = a x c + b x c. Если 2 вектора заданы своими координатами, то . Используется в геометрии, можно так находить площадь параллелограмма . В физике можно использовать для вычисления момента силы.

12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

Смешанным произведение 3-х векторов называется число, которое получается при скалярном произведении векторов a x b и c. Свойства: 1) . 2) a x b∙c = 0, когда векторы являются компланарными. 3) abc = cab = bca = -bac = -acb = -cba. Если векторы заданы своими координатами, то . Используется в геометрии для расчета объема:

13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Вектор, перпендикулярный данной прямой – нормальный. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпедикулярной заданному вектору – Уравнение прямой, лежащей в плоскости Oxy (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ) – Ax + By + C = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку (0; ) и перпендикулярно вектору n (A; B) – . Если вектор || данной прямой – направляющий вектор. Каноническое уравнение – . Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении – , где k = tgα. Уравнение прямой с угловым коэффициентом – y = kx + b (если b=0, то прямая через начало координат, если k=0, то прямая || Ox). Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки – . 2 пересекающиеся прямые не ┴ друг другу – . Если прямые || или совпадают, то α₁ = α₂ и k₁ = k₂. Расстояние от точки до прямой –

14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку – A(x-x₁) + B(y-y₁) + C(z-z₁) = 0. Общее уравнение 1-ой степени с 3-мя переменными – Ax + By + Cz + D = 0. Уравнение плоскости в отрезках на осях координат – . Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки – . 1 из смежных двугранных углов между плоскостями – . Свойства – 1) 2 плоскости перпендикулярны тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, тогда A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. 2) 2 плоскости || тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны, т.е. . Расстояние от точки до плоскости –