- •1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
- •2. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.
- •3. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица.
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5. Правило Крамера.
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
- •10. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •11. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •12. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •14. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
- •15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •17. Полярная система координат.
- •18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.
- •19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.
- •20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
- •22. Предел функции в точке, односторонние пределы.
- •23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •24. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
- •26. Основные теоремы о пределах.
- •27. Первый и второй замечательный пределы.
- •28. Сравнение бесконечно малых функций.
- •29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.
- •30. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.
- •32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.
- •33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •38. Правило Лопиталя.
- •39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.
- •40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.
- •41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.
- •42. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 2-х переменных. Исследование функции 2-х переменных на экстремум.
- •47. Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям.
- •48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства.
- •53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.
- •54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
- •56. Однородные ду 1-го порядка.
- •57. Линейные ду 1-го порядка.
- •59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.
- •60. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •61. Линейные неоднородные ду 2-го порядка. Теорема о структуре их общего решения.
- •62. Лнду 2-го порядку с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
5. Правило Крамера.
Теорема (правило Крамера для системы nxn) – Если главный определитель ∆ системы линейных уравнений ≠ 0, то система совместна и имеет 1 решение, которое находится по формулам .
6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Имеем . На основании правила умножения матриц заменим систему уравнений матричным уравнением с неизвестной матрицей Х: AX=B. Пусть А имеет обратную матрицу А-1, умножив матричное уравнение на А-1 слева, получим: А-1∙А∙Х = А-1∙В.
Т.к. А∙А-1 = Е, а Е∙Х = Х, то имеем Х = В∙А-1 – матричная запись решения системы линейных уравнений.
7. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок АВ. Вектор ВА (или -АВ) – противоположный вектору АВ. Длиной вектора АВ или его модулем называется длина соответствующего отрезка АВ. Перемещение вектора в пространстве – параллельный перенос. 2 вектора называются равными, если параллельным переносом их можно совместить (). Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (). Если , то вектор называется единичным. Векторы называются коллинеарными, если их можно совместить (нулевой вектор коллинеарен любому векторы). Векторы называются компланарными, если их можно разместить в одной плоскости. 1) Сложение 2-х векторов
2) Умножение вектора на число
Углом между 2-мя векторами называется меньший из 2-х угол между ними (. Если угол = 90о, то векторы называются перпендикулярными (ОРТО). Имеем вектор АВ
Число хВ – хА – проекция вектора на ось (может быть +, -, 0). Ох =.
8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.
Векторы а1, а2, … , аn называются линейно-зависимыми, если существуют такие числа с1, с2, … , сn, не все = 0, для которых имеет место равенство с1а1 + с2а2 + … + сnan = 0. Векторы а1, а2, … , аn линейно-независимы если равенство с1а1 + с2а2 + … + сnan = 0 выполняется только при условии с1 = с2 = … = сn = 0. Базис на прямой – любой ненулевой вектор этой прямой, на плоскости – любые 2 неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке, в пространстве – любые 3 некомпланарных вектора, выбранные в определенном порядке (на плоскости и в пространстве сколько угодно базисов). Если вектор а – базис на прямой и b – вектор этой прямой, то b = λa (а и b линейно-зависимы). Если (a, b) – базис на плоскости и c – вектор этой плоскости, то c = αa + βb (a, b, c, линейно-зависимы). Если (a, b, c) – базис в пространстве и d – вектор в этом пространстве, то d = αa + βb + γc (a, b, c, d линейно зависимы). Все числа единственны (α, β, γ, λ). Число λ – координата вектора b на прямой в базисе а и т.д.
9. Декартова система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы, длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении.
Пусть i, j, k единичные с общим началом 0 взаимно перпендикулярные 3 вектора пространства и пусть (i, j, k) – базис этого пространства (ортонормированный). Через эти вектора проведем Х, Y, Z соответственно базисным векторам (прямые – оси координат, точка О – начало). Совокупность точки О и осей – Декартовая система координат пространства. Также и с прямоугольной Декартовой системы на плоскости (базис (i, j), оси X, Y). Имеем систему координат в пространстве, тогда вектор АВ имеет координаты (х2-х1, у2-у1, z2-z1). Длина вектора |AB|=.