31. Цикловая структура подстановки и ее порядок.

Def: ] gS_n [1^r1…n^r0n] наз. цикловой структурой подстановки g, если r₁+…+ nr_n=n и g представима в виде произведения r_i циклов длины i=1,n. (r_i – кол-во циклов длины i).

Пр.: g₁=(1,2)(3,4), [1⁰,2²,3⁰,4⁰].

Утв.: ] gS_n, тогда если g – цикл, т.ч. [1⁰,2²,…,i¹…,n⁰], то порядок подстановки ordg=i. Если g имеет циклич. структуру [1^r1…n^r0n], то ordg=НОК(i₁,…,i_k: r_ij0, j=1,k, i=1,n).

Пр.: g=(1,2)(3,4), ordg=НОК(2)=2

◄] g=(a₁,…,a_k), g²=(a₁,a_3,…), g^k1=(a₁,a_k…), g^k=(a₁)…(a_k)=e ►

g=(1,3,5), g²=(1,5,3), g³=(1)(3)(5); g=(1,2,4,3), g²=(1,4)(2,3), g³=(1,3,4,2), g⁴=(1)(2)(3)(4)

] g=g₁…g_t – представим g в виде произв. независимых циклов длины k₁,…,k_t. Тогда g^S=(g₁…g_t)^S=g₁^Sg_t^S, т.к. независ. циклич. перестанов. Но g^S=e  g_i^S=e  i=1,t, т.е. ordg_i/_S  ordg=НОК(ordg_i)=НОК(i₁,…,i_t: r_ij0) ►

Пр.: g=(1,3,5)(4,6),(2), [1¹, 2¹, 3¹, 4⁰, 5⁰, 6⁰],

ordg=НОК(1,2,3)=6

32. Представление подстановок в виде произведения транспозиций. Четные подстановки.

Def: Подстановка g, являющаяся циклом длины Z, наз. транспозицией.

Пр.: (1,2)(3)…(10) – транспозиция.

Утв.: ] gS_n. Тогда g – есть произведение транспозиций ◄] g=g₁…g_t – произведение независимых циклов, g_i=(i₁…i_k)=(i₁i₂)(i₁i₃)…(i₁i_k), отсюда вытекает► (ij)(ij)=e.

Пр.: g=(1,3,5)(4,5,6), (1,2,3)=(1,2)(1,3),

(4,5,6)=(4,5)(4,6)  g=(1,2)(1,3)(4,5)(4,6), ordg=3.

Def: Подстановка gS_n – наз. четной подстановкой, если g есть произведение четного числа транспозиций.

33. Критерий четности подстановки. Знакопеременная группа.

Def: Мн-во всех четных подстановок A_n наз. знакопеременной группой.

Утв.: A_n – группа; A_nS_n{( A_n:S_n)=Z}◄►

Утв.: ] gS и [1^r1…n^r0n] – циклич. структура подст. g если d(g)=n-(r_i+…+r_n) – четное, то подстановка четная ◄] g=g₁…g_t – произв. независ. циклов. Кроме того g_i=(i₁…i_k)=(i₁i₂)(i₁i₃)…(i₁i_k) (их всего k-1 штука). Раскладывая каждый цикл в виде произведения транспозиций, получим, что g есть произведение. r₂+2r₃+…+(n-1)r_n=

=(r₁+2r₂+3r₃+…+nr_n)-(r₁+…+r_n)=n-(r₁+…+r_n)=d(g)►

36. Подкольца и идеалы кольца. Подкольцо порожденное мн-вом.

Def: ] R – кольцо, подкольцо I<R наз. идеалом, если  rR rII (т.е.  iI: riI). Обознач.: IR (a+II, aII ).

Def: ] MR R – кольцо, тогда <M>_R=R_i (R_i<R, MR_i) – подкольцо, порожд. мн-вом М; (M)_R=I_i (I_iR, MI_i) – идеал, порожд. мн-вом М в R.

Замеч.: <M>_R(M)_R – не всегда верно.

Замеч.: Если R – кольцо с единицей, то (M)_R={R_m1+…+R_mk} m_iM и {m₁… m_k}=M.

Def: R – кольцо IR: 1) ] I – главный идеал, если I=(i)_k=iR; 2)] R– коммут. Кольцо, если  I<R, I – главный идеал, то R– кольцо главных идеалов.

39. Деление с остатком. Нод и нок многочленов.

В P[x] определено деление с остатком, т.е a(x)b(x)P[x], a(x) делится на b(x) с остатком, если  q(x),r(x)P[x], т.ч. 1) a(x)=G(x)q(x)+r(x); 2) deg r(x)<deg b(x).

Def: ] a₁(x), …, a_n(x)P(x) (не все равные нулю) а) d(x) – наз. общим делителем a₁(x), …, a_n(x), если  i1,n d(x)|a_i(x); б) d(x) наз. НОД мн-нов a₁(x), …, a_n(x), если 1) d(x) – общий делитель a₁,…,a_n; 2)  d(x) – общего делителя a₁,…,a_n справедливо d(x)|d(x). Обознач. d(x)=НОД(a₁,…,a_n).

Def: НОК(a(x),b(x))=a(x)b(x)/НОД(a(x),b(x)). НОК – самый маленький многочлен, который делится и на a(x) и на b(x).