12. Подкольцо. Критерий подкольца.
Def: ] К(+,) – кольцо К1К, тогда кольцо К1(+,) – подкольцо кольца К. Обозначается К1< К.
Утв. (Критерий подкольца): К(+,) – кольцо К1К, К1– подкольцо 1) a,bК1, a-bК1; 2) a,bК1, abК1.
13. Подполе. Критерий подполя.
Def: ] Р(+,)– поле Р1Р, тогда поле Р1(+,)– подполе поля Р. Обозначается Р1< G.
Утв. (Критерий подполя): К(+,) – поле Р1Р Р1– подполе 1) a,bР1, a-bР1; 2) a,bР1, b0, ab1Р1.
14.Гомоморфизмы алгебраических структур с одной и двумя бинарными операциями. Примеры.
Def: ] А(), В()– мн-ва с бинарными операциями и . Отображение :АВ называется гомоморфизмом, если a,bА (ab)=(a)(b). Если – сурьективно, то – эпиморфизм; если – инъективно, то –мономорфизм; если –биективно, то –изоморфизм.
Утв.: ] : А()В() – эпиморфизм, тогда: 1) если в А() е – ед. элемент, то (е) – ед. элемент в В(); 2) если aА() – обратим, то (a) – обратим в В(), кроме того, (a1)=((a))1; 3) если ассоц. (коммут.), то ассоц. (коммут.) ◄1) еА– ед.элемент в А. Рассмотрим образ (е)В. Заметим, что т.к. – эпиморфное (в частности – срьективна), то bВ 1(е)А: (1(b))=b, тогда (ае)=(еа)=(а) т.к. – гомоморф. получаем: (а)(е)=(е)(а)=(а) bB b(е)=(e)b=b, т.е. (e)– ед. эл.; 2) и 3) самостоятельно►. Следствие: Гомоморфный образ полугруппы, группы, аб. Группы есть полугруппа, группа, аб. группа соответственно.
Def: ] M(+,), K(,) – мн-во с двумя бинарными операциями. Отображение : MK наз. гомоморфизмом, если a,bM:
1) (a+b)=(a)(b); 2) (ab)=(a)(b).
Утв.: Гомоморфный образ кольца (поля) есть кольцо (поле) ◄►.
Вывод: 1) На мн-ве всех групп (колец, полей) рассмотрим отношение: АВ :АВ: – изоморфизм, тогда – отношение эквивалентности. Мн-во всех групп (колец, полей) разбивается на классы изоморфных групп (колец, полей). Объекты одинаковы, если они изоморфны.
Пр.: 1) R+ – мн-во положит. действит. чисел. Рассмотрим отображение : R+()R(+) (a|loga), – гомоморфизм
(ab)=(a)+(b), log(ab)=log(a)+log(b);
2): Z(+)2Z(+) (a|2a), (a+b)=2(a+b) и (a)+(b)=2a+2b – совпадают –гомоморфизм;
3) : Z()2Z() (a|a2), (ab)=2ab и (a)(b)=2a2b – не явл. гомоморфизмом;
4) : Z(+)N0(+) (m||m|), |n+m||m|+|n| – не явл.;
5) : Z()N0(), |nm||m||n| – гомоморфизм.
15. Подгруппа, порожденная заданным подмножеством. Примеры.
Def: ] G– группа MG. Тогда <M>G=Gi (Gi<G, MGi) наз. подгруппой порожденной на мн-ве M в группе G (т.е. это минимальная подгруппа группы G содерж. мн-во M).
Th:
] G–
группа MG.
Тогда
причем
будем считать приk=0
1<M>G.
//Лирическое
отступление: N0={0}N.
Например, k=1
M={m1m2}
Обозначим {…} H.
Надо показать, что <M>G=Н
◄Покажем,
что Н – подгруппа группы G.
Действительно, по критерию подгруппы
имеем:
Покажем, что Н=<M>G
пересечение всех подгрупп: а)
т.к. H<G
и MH,
то G0H
(Gi<G,
MGi);
б)
Покажем, что <M>GН
(мн-во произвед. длины k).
При k=0:
1<M>G;
k=1:
mM,
m-1<M>G
(т.к. mM,
m<M>G,
<M>G
– группа); k=2:
m1,m2M,
m11,m22<M>G
и т.д., т.е. <M>GН►.
Пр.: Z(+), покажем что Z =<1>. Действительно: k=0: 0Z; k=1: 1Z, -1Z ;
