16. Индекс подгруппы.

] G – группа, H<G. На G рассмотрим бинарное отношение а_л^Нb  а^-1bН (отношение левой сравнимости по Н), а_п^Нb  аb^1Н (отношение правой сравнимости по Н). Эти отношения будем называть отношениями левой (правой) сравнимости по подгруппе H группы G.

Св-ва: 1) Отношения _л^Н и _п^Н – отношения эквивален. ◄самостоятельно, используя такое св-во: а^1bН; (аb^1)^1Н и b^1аН – симметричность►; 2) Классы эквивалентности по отношению _л^Н(_п^Н) имеют вид: gH, gG (Hg, gG) ◄g={aG: g_л^Нa} т.е. g^1аН, т.е. agH={gh: hН}►; 3) G=Hg₁H… g_iH … g₁G; 4) ] A={gH: gG} – мн-во всех классов эквив. отн. _л^Н, B={Hs: sG} – мн-во всех классов эквив. отн. _п^Н, тогда А и В равномощны ◄Рассмотрим отображение : АВ (gH|Hg^-1).

//Лирическое отступление: GG (a|a^1), gH={gh: hH}| {h^1g^1: hН}={g^1: Н}=Hg^1// проверку биективности самостоятельно. g₁HHg₁^1 и g₂HHg₂^1, что означает, что g₁ и g₂одному классу эквивалентности. Hg₁^1=Hg₂^1  H=Hg₂^1g₁ g₂^1g₁H  g₁_л^Н g₂  инъективна►.

Def: ] G – группа, H<G, тогда мощность мн-ва классов эквивалентности по отношению _л^Н или _п^Н называется индексом подгруппы Н в группе Gⁿ и обозначается (G:H).

17. Теорема Лагранжа.

Th: ] G– конечная группа, H<G, тогда |G|=|H|(G:H) ◄Рассмотрим _л^Н. Тогда G=Hg₁H… g_k-1H, где (G:H)=К. Рассмотрим : g_iH|g_jH (g_ih|g_jh) ij i,j=0,k-1. Легко видеть, что – биективное отображение. Тогда |g_iH|=|g_jH| и |G|=_i=0^k-1|g_iH|=K|H|=(G:H)|H|►

Пр.: Z(+), 3Z(+)<Z(+), Z=(3Z)(1+3Z) (2+3Z)  (Z:3Z)=3.

18. Нормальные делители группы и их свойства. 19. Понятие фактор-группы.

Def: ] H<G, если  gG gH=Hg, то Н наз. нормальной подгруппой G (или норм. делителем).  gh и  hH, g^-1hgH. Обозначение: HG. ] G– группа и HG, G=Hg₁H…g_iH… g_iG.

Представление группы в виде объединения классов эквивалентности. Рассмотрим фактор-мн-во относит. эквив. сравнимости подгрупп G/_H={H, gH, …, g_kH,…: gG}. На мн-ве вида G/_H рассмотрим операцию (g_iH)(g_jH)=g_ig_jH //Лирическое отступление: [(g_iH)H][g_jH]=g_ihg_jH= g_ig_jH (операция корректна, если H – нормальная подгруппа)//

Замечание: Фактор-группы G/H, HG состоит: – из элементов вида gH, gG; – операция опред. след. образом g_iHg_jH=g_ig_jH;– корректность определения операции следует из того, что H – норм.подгруппа.

Пр.: 1) mZ(+)<Z, является ли mZ нормальным делителем ? Да, т.к. Z– абелева группа. Рассмотрим фактор-множество, введем операции и т.д. Z/mZ(+)<Z_m(+);

2) SL_m(P)={М – мн-во матриц над полем Р, т.ч. |M|=1} () ={…}, т.ч. |M|0} (). Заметим, что SL_m(P)GL_m(P),

MGL_m(P) M^1SL_m(P)MSL_m(P),

 MGL_m(P)  HSL_m(P) M^1HMSL_m(P),

но |M^1HM|=|M^1||H||M|=1.

GL_m(P)/SL_m(P)={SL_m(P)M₂SL_m(P)…) {M₂–матрица с др. определителем}P*=P\{0}() //Лирическое отступление: для док-ва рассмотрим отображение : MSL_m(P)M//.

20. Теорема об эпиморфизме групп.

] f: GH эпиморфизм группы и ядро отображения f Kerf={gG: fg – ед. элемент гр. H}. Тогда: 1) KerfG; 2) G/_KerfH ◄1) ] a,bKerf. Рассмотрим

ab^1, по опр. Эпиморфизма

f(ab^1)=f(a)f(b^1)=f(a)f(b)^1=ee^1=e  ab^1Kerf  Kerf<G. Далее покажем, что ядро явл. норм. подгруппой. ] gG, aKerf, получаем:

f(g^1ag)=f(g^1)f(а)f(g)={f(а)=e}=f(g^1)f(g)=e 

g^1 и gKerf, т.е. gKerf=Kerfg  KerfG;

2) Запишем, что G/_Kerf{Kerf, g₁Kerf, …}. Рассмотрим : G/_KerfH (gKerf|f(g). Покажем, что – гомоморфизм.

((g₁Kerf)(g₂Kerf))=(g₁g₂Kerf)=f(g₁g₂).

Т.к. f– гомоморфизм (по усл.), то =f(g₁)f(g₂)=(g₁Kerf)(g₂Kerf) по способу задания отображения  – гомоморфизм. Покажем, что – сюрьективно. Т.к. f– эпиморфизм, то  hH  gG: f(g)=h, но (gKerf)=f(g)=h. Покажем, что – инъективно. Допустим, что а,bG: aKerfbKerf и (aKerf)=(bKerf). Но по правилу задания: (aKerf)=f(h)=f(a)f(b) ^1=e=f(ab^1)  ab^1Kerf, т.е. abKerf  aKerf=bKerf – противоречит допущению  – биективно, – изоморфизм►