Шпоры по дискре (3 семестр)

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Определение поля. Обратимые элементы. Критерий поля. Примеры полей.

2. Поле частных коммутативного кольца без делителей нуля.

3. Простые поля. Классификация простых полей.

4. Расширения полей. Конечное расширение поля.

5. Степень конечного расширения поля. Теорема о башне полей (без доказательства). Примеры.

6. Простое расширение поля. Алгебраическое и трансцендентное расширения полей.

7. Классификация простых расширений полей.

8. Поле разложения многочлена. Существование и единственность поля разложения многочлена.

9. Конечные поля. Свойства конечных полей.

10. Способы вычисления обратного элемента конечного поля.

11. Существование и единственность конечного поля.

12. Х-матрицы над полем. Элементарные преобразования. Канонический вид Х-матрицы.

13. Существование канонического вида Х-матрицы.

14. Инвариантные делители Х-матрицы. Свойства инвариантных делителей.

15. Единственность канонического вида Х-матрицы.

16. Подобие матриц над полем. Критерий подобия матриц над полем.

17. Сопровождающая матрица многочлена над полем и ее свойства.

18. Существование и единственность представления матрицы над полем в 1~ нормальной форме.

19. Существование и единственность представления матрицы над полем во 2- Й нормальной форме.

20. Минимальный многочлен линейного преобразования и способы его вычисления.

21. Граф линейного преобразования линейного пространства над конечным полем.

Циклы и деревья.

22. Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы.

23. Построение графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы.

24. Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью обратимой

матрицы.

25. Цикловые термы. Сведение задачи построения графа линейного преобразования, заданного с помощью обратимой матрицы, к задаче построения графа линейного преобразования, заданного с помощью сопровождающей матрицы степени

неприводимого многочлена.

26. Построения графа линейного преобразования, заданного с помощью

сопровождающей матрицы степени неприводимого многочлена (без доказательства).

27. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП) над конечным полем. Характеристический многочлен

ОБОЗНАЧЕНИЯ

.АВ – А подмножество В

А<В – А подполе В

a|b – a делит b

degA – степень А

 - отношение эквивалентности

АВ – А подобно В

 – изоморфизм

… - доказательство от противного

charP – характеристика поля Р

[P’:P] – степень расширения P’ поля P

- идеал

Re – реальная часть комплексного числа

Im – мнимая часть комплексного числа

НОК – наименьшее общее кратное

НОД – наибольший общий делитель

|P| - число элементов в Р

Р\{0} –

Р=<M> - Р порождено М

А~В – А эквивалентна В

А^* - обратимая к А

- к-ый инвариантный делитель -матрицы над полем Р

Р[x] – множество многочленов над полем P

S(f()) – сопровождающая матрица многочлена f()

(V,E) – граф, V – множество вершин, E – множество ребер

1. (1 из 1) Определение поля. Обратимые элементы. Критерий поля. Примеры полей.

2. (1 из 3) Поле частных коммутативного кольца без делителей нуля.

Определение: называется полем, если:

1) - коммутативное кольцо с единицей

2) , ( - единичный элемент относительно )

(т.е. , где - единичный элемент относительно операции )

Пример поля:

1.

2.

3. Единица относительно и существует.

4. :

- верно, т.к. , то

Определение: - поле, - подполе

!!операции определены те же, что и над полем!!

Утверждение (Критерий):

Пусть - поле, - подполе

1. ,

2. , ,

◄Надо доказать►

Определение: Пусть - коммутативное кольцо без делителей нуля. Поле частных для кольца - поле , т.ч.:

1. - изоморфное вложения в .

2. имеет место представление для (т.е. )

Изоморфное вложения в : , причем - биективно.(делители нуля ab=0 a≠0,b≠0)

Теорема:

- коммутативного кольца без делителя нуля существует поле частных , причем, если , то соответствующие поля частных и , изоморфны, т.е .

(поле частных единственно с точностью до изоморфизма.)

◄1. Рассмотрим множество (пока не требуем обратимости). Пусть - отношение на множестве , такое что . Легко видеть, что - отношение эквивалентности. Пусть - фактор множества по.(состоит из классов ээквивалентностей)

На множестве рассмотрим операции:

2. (2 из 3) Поле частных коммутативного кольца без делителей нуля.

2. (3 из 3) Поле частных коммутативного кольца без делителей нуля.

а) - сложение

б) - произведение

Проверим корректность задания этих операций: , т.к. нет делителя нуля.

Непосредственной проверкой покажем, что – поле:

— коммутативное кольцо;

—

—

[…] – означает, что в качестве элемента выступает класс

Покажем, что – поле частных .

Рассмотрим

 - изоморфизм и , действительно: инъективность

, а (образы совпадают), но Мы получили противоречие.

-сюрьективность:

Доказать самостоятельно

-гомоморфизм:

Доказать самостоятельно

Далее заметим, что

Таким образом – поле частных кольца .

2. Докажем единственность:

Пусть и – коммутативные кольца без делителей нуля и – изоморфизм, и – поля частных для и . Тогда и – изоморфные вложения.

Другими словами имеет место диаграмма:

Рассмотрим отображение :

, , - элементы из R₁

Непосредственной проверкой покажем, что является изоморфизмом. ►

3. (1 из 1) Простые поля. Классификация простых полей.

3. (2 из 3) Простые поля. Классификация простых полей.

Определение: Поле - называется простым, если не имеет собственных подполей.

Зам Минимальное число элементов в поле – два (ноль и единица)

Определение: - поле. Минимальное натуральное число такое, что ( - единица , 0 - ноль) называется характеристикой поля . Если такого нет, то считается, что характеристика равна 0.

Обозначения:

Пример:

1) - -простое (кольцо вычетов по модулю простого числа). Т.к. Если для любого не нулевого элемента существует обратный элемент, выполнимо , . единственное решение, значит - обратный элемент к .

Таким образом .

2) (по определению)

Свойства характеристики поля:

1° Если , то -простое ().

◄, то или ►

2° Если, то / - Р подполе Р₁/

◄Доказательство следует из того,что единичные элементы поля и подполя совпадают►

Пример:

1) , -простое – простое поле.

. В частности по теореме

Лагранжа , но

2) - простое поле

. Но

Утв. 1:

- поле, тогда - простое, т.ч.

◄Пусть - пересечение всех подполей , -поле. Покажем, что - простое . Действительно если , то , т.к. - пересечение всех подполей; получаем противоречие, т.е. - простое.

Докажем, что - единственно:

- другое простое поле, в P и

►

Утв. 2: (какие простые поля сущ-ют)

Пусть - поле. Тогда

1) , - простое число

2)

◄Рассмотрим

, e - единица P

Пример:

3. (3 из 3) Простые поля. Классификация простых полей.

4. (1 из 1) Расширения полей. Конечное расширение поля.

Проверить, что - гомоморфизм колец.

Найдем φ:

Возможны два случая:

1) , т.е - изоморфное вложение в . (отображение является гомоморфизмом, поэтому можем рассматривать ядро)

Но коммутативное кольцо без делителя нуля  поле – поле частных (т.е. – кольца, которые мы можем дополнить до поля частных). Но - простое поле , т.е поле частных .

Но поле частных - есть , те. .

2)

Рассмотрим , т.е ( - простое число по свойствам ).

Т огда по теореме об изоморфизме колец.

Но -поле (по ранее доказанному), т.е. и - поле т.к. - простое поле , т.е. ►

Определение: Пусть и - поля и . В этом случае говорят, что расширение поля .

Определение: Пусть и , тогда называется расширением поля порожденное множеством в поле , если – минимальное подполе поля , содержащее множество М, т.е. это подполе, порожденное множеством М.

Обозначение:

Утверждение: (Расширение поля Р₁ с помощью объединения поля M₁ и M₂ совпадает со следующей конструкцией: P(M₁)(M₂).)

◄1)

- минимальное поле содержащее

2)

Но - минимальное поле, содержащее ►

Определение: Расширение поля в поле называется конечным, если .

называется простым, если .

Замечание:

Т.е. любой конечное расширение может быть построено из простых.