Шпоры по дискре (3 семестр)

5. (1 из 1) Степень конечного расширения поля. Теорема о башне полей (без доказательства). Примеры.

6. (1 из 1) Простое расширение поля. Алгебраическое и трансцендентное расширения полей.

Определение: Степенью расширения поля называется размерность линейного пространства . Обозначается . Расширение называется расширением конечной степени, если . Будем рассматривать расширения конечной степени.

Пример:

1)

Но если , то или

2)

Теорема о башне полей.

Пусть - башня полей и . (В неявном виде записано, что ), тогда .

//Без доказательства//

Определение: Расширение называется простым, если .

Определение: Пусть , называется алгебраическим элементом над , если корень . В противном случае называется трансциндентным элементом.

Определение: Пусть - алгебраический элемент поля над (т.е. ). Унитарный многочлен из минимальной степени, т.ч. называется минимальным многочленом элемента .

Утверждение: _’, такой, что - алгебраический элемент над . ! минимальный многочлен элемента .

◄Без доказательства►

Определение: Расширение поля (т.е. ) называется алгебраическим, если – алгебраический элемент над . В протвном случае трансцендентное расширение.

Утверждение: Пусть – простое расширение конечной степени. Тогда – алгебраическое расширение.

◄Без доказательства►

7. (1 из 3) Классификация простых расширений полей.

7. (2 из 3) Классификация простых расширений полей.

Определение: Пусть - алгебраический элемент поля над (). Унитарный многочлен из минимальной степени такой, что называются минимальным элементом элемента .

Утверждение: , такое, что - алгебраический элемент над минимальный многочлен элемента .

◄Без доказательства►

Определение: Расширение поля (т.е. ) называется алгебраическим, если – алгебраический элемент над . В протвном случае трансцендентное расширение.

Утверждение: Пусть – расширение конечной степени. Тогда – алгебраическое расширение.

◄Без доказательства►

Утверждение: (классификация простых утверждений)

Пусть – простое расширение поля конечной степени Тогда:

а) если - алгебраический элемент, то , где - минимальный многочлен элемента ;

б) если - трансцендентный элемент , где - поле частных кольца ( изоморфна остаткам от деления на )

Кольцо многочленов - кольцо главных идеалов:

Элементы идеала – многочлены, которые делятся на :

дроби над кольцом многочлена

◄Замечание: - поле неприводим, т.е. который не раскладывается в произведение других.

◄/Замечания/ 1) - неприводим. Для  элемента должны показать обратный. Пусть . // - указатель на класс эквивалентности, т.е. многочлен (представитель класса эквивалентности)//.

Но (т.к неприводим), т.е. такое, что .

Заметим, что (как элементы ), т.е. .(т.е u(x) – обратим к а(х))

2) - приводим, т.е. , но в это равенство примет вид , т.е. и делители нуля -(фактор-кольцо)-- не поле. ►/Замечания/

Рассмотрим отображение

- многочлен – последовательность элементов поля.

Легко видеть, - гомоморфизм. Рассмотрим (т.е. ). Возможны два случая:

а) такое, что , т.е. или - алгебраический элемент над =() (ядро совпадает с идеалом, порожденным минимальным многочленом множества ; ядро гомоморфизма колец – идеал) по теореме об эпиморфизме колец , но -неприводимый многочлен.

т.к. в нет делителя нуля либо противоречие с минимальностью многочлена)

7. (3 из 3) Классификация простых расширений полей.

8. (1 из 1) Поле разложения многочлена. Существование и единственность поля разложения многочлена

По Замечанию называется полем.

Кроме того, (по определению гомоморфизма) и (т.к. ) 

# (1-ый случай доказан)

б) - изоморфное вложение в . Пусть - поле частных кольца , тогда (по определению поля частных). С другой стороны, (т.к. - минимальное поле, содержащее и и ) .

По теореме о полях частных (единственность) поле частных полю частных . Таким образом ►

Замечание: - алгебраическое расширение поля . Тогда , где , .( степень расширения совпадает со степенью минимального многочлена)

Действительно, , . Но

или

, т.е .

, т.е. .

Осталось показать, что - линейная независимая система (т.к. иначе - является корнем многочлена степени ) это противоречит

Определение: Расширение поля - называется полем разложения многочлена над , если разлагается в в произведение линейных сомножителей (или все корни ).

Пример: , . Но в . Т.е. поле комплексных чисел является полем разложения многочлена

Теорема: - поля и поле разложения над .

Теорема: Пусть - изоморфизм полей и - минимальные поля разложения многочленов и , где , . Тогда - изоморфизм полей, продолжающий (т.е.

9. (1 из 1) Конечные поля. Свойства конечных полей.

10. (1 из 2) Способы вычисления обратного элемента конечного поля

Определение: – конечное поле, если . ( - количество элементов)

Утверждение. (основные свойства конечных полей) Пусть – конечное поле, тогда:

1. – расширение конечной степени простого поля.

, для некоторого простого числа .

◄ содержит простое подполе и , т.е. , – простое число►

2. , где - степень расширения, – простое поле.

◄- линейное пространство над , ►

3. .

◄, т.к. характеристика подполя совпадает с характеристикой поля►

4. – минимальное поле разложения многочлена над (Т.е. конечное поле – множество корней соответствующего многочлена).

◄Рассмотрим . –абелева группа порядка . - корень многочлена - корень уравнения . Но всего корней не более ►

Утверждение: Пусть – конечное поле, тогда – циклическая группа (т.е. порождаемая одним элементом).

◄без доказательства►

Определение: Пусть (т.е. конечное поле), - примитивным элементом поля , если (то есть все поле, кроме нулевого элемента, должно порождаться этим примитивным элементом).

Утверждение: конечного поля и , т.ч. – неприводимый многочлен над полем такой что .

Пример 1: Пусть ,  |, .

– конечное поле с двумя элементами.

, -корень неприводимого многочлена , .

Пусть -корень многочлена .

1) – фактор-кольцо

2) размерность , поэтому

например, , но -корень , т.е.

3)