Задачи и методические указания к решению

² ° ² ¼ХвЮФШзХбЪШЩ ЯаШЬХа.

¿ãáâì M ´ (¸x:x[(¸x:x)4; (¸x:x)3])((¸x:x)+).

(1) ½ХвагФЭЮ гСХФШвмбп, звЮ ЯаШТЮФШЬРп жХЯЮзЪР ¯-ЪЮЭТХабШЩ ТХФХв Ъ ТлзШбЫХЭШо зШбЫР 7:

M´ (¸x:x[(¸x:x)4; (¸x:x)3])((¸x:x)+) = (¸x:x[(4); (3)])(+) = (+)[(4); (3)] ´ +[4; 3] = 7:

(2)ºЮФШаЮТРЭШХ M ЯЮ ´ХСаХЩЭг ФРХв MdB: MdB ´ (¸:0[(¸:0)4; (¸:0)3])((¸:0)+)

(3)´Ып ЪЮЬЯШЫШаЮТРЭШп ЪЮФР `ЪЮФЮУХЭХаРжШШ', ТЮбЯЮЫмЧгХЬбп вХЮаШХЩ ТлзШбЫХЭШп ЧЭРзХЭШЩ

´Ып ЮЯХаШаЮТРЭШп ЯаЮШЧТХФХЭШпЬШ ФЮЯЮЫЭШвХЫмЭЮ ТТЮФШвбп ЪЮЬСШЭРвЮа ßÐàë < ¢; ¢ >´ ¸t:[¢t; ¢t] б еРаРЪвХаШбвШЪЮЩ < f; g >´ ¸t¸z:z(ft)(gt) ´ ¸t:[ft; gt].

(4) ºЮФЮУХЭХаРжШо ЭРзШЭРХЬ б ТлзШбЫХЭШп ЧЭРзХЭШп

kM2k ´ k(¸:0) + k

="± < ¤k0k; k + k >= "± < ¤Snd; ¤(+ ± Snd) > :

(5)БеХЬР ТлзШбЫХЭШп ЧЭРзХЭШп MdB Т ЭХЪЮвЮаЮЩ баХФХ ½, ШЫШ, ЯЮ ШЭЮЩ вХаЬШЭЮЫЮУШШ, ШбЯЮЫЭХЭШп бЪЮЬЯШЫШаЮТРЭЭЮУЮ ЪЮФР, ШЬХХв ТШФ

kMdBk½ ´ ("± < kM1k; kM2k >)½ = "[kM1k½; kM2k½] = kM1k½(kM2k½) ´ kM1k½½2:

| {z }

´½2

(6) ВРЪШЬ ЮСаРЧЮЬ,

kMdBk½ ´ kM1k½½2 = ¤("± < Snd; < 04 ; 03 >>)½½2 = "[Snd[½; ½2]; < 04 ; 03 > [½; ½2]]

="[½2; [ 04 [½; ½2]; 03 [½; ½2]] = ½2[4; 3];

ЯЮбЪЮЫмЪг, ЭРЯаШЬХа, ФЫп n = 4; 3 ТлЯЮЫЭпХвбп

0n [½; ½2] ´ "± < ¤Snd;0 n > [½; ½2] = "[¤Snd[½; ½2];0 n[½; ½2]] = ¤Snd[½; ½2]n = Snd[[½; ½2]; n] = n:

(7) ½РЪЮЭХж, ШбЯЮЫЭХЭШХ бЪЮЬЯШЫШаЮТРЭЭЮУЮ ЪЮФР ФРХв ЮЪЮЭзРвХЫмЭлЩ аХЧгЫмвРв:

1

ЗРбвм 2: ЯаЮФТШЭгвлЩ гаЮТХЭм ЪЮЬЯШЫШаЮТРЭШХ ЪЮФР, ХУЮ ЮЯвШЬШЧРжШп Ш ШбЯЮЫЭХЭШХ

²± ² ·РФРзШ.

ºЧРФРзРЬ ФРЭл ЭХЪЮвЮалХ гЪРЧРЭШп, ЪЮвЮалХ ЬЮУгв ЮЪРЧРвмбп ЭХСХббЯЮаЭлЬШ. ¾ФЭРЪЮ, ЮЭШ ЬЮУгв ФРвм ЯЮЫХЧЭго ФЫп аХиХЭШп ШЭдЮаЬРжШо.

1 ´Ып вХаЬР M ´ (¸x:x 4((¸x:x)3))+ ТлЯЮЫЭШвм:

(i) ЪЮФШаЮТРЭШХ ЯЮ ФХ ±аХЩЭг (баРТЭШвХ б ЯаХФЫРУРХЬлЬ ТРаШРЭвЮЬ M0 ´ (¸:0 4((¸:0)3)+);

(ii) ЪЮФЮУХЭХаРжШо (баРТЭШвХ б ЯаХФЫРУРХЬлЬ ТРаШРЭвЮЬ S(¤(S(S(0!;0 4); S(¤(0!);0 3)));0 +); нвЮ ЭХ бРЬлЩ ЫгзиШЩ; ЯЮЯаЮСгЩвХ гЪРЧРвм Ш ШбЯаРТШвм ЮиШСЪг/ЭХвЮзЭЮбвм). µбЫШ ЯЮЭРФЮСШвбп, ТлЯЮЫЭШвХ ЪЮФЮУХЭХаРжШо, ШбЯЮЫмЧгп ШЭлХ аРТХЭбвТР вХЮаШШ ТлзШбЫХЭШЩ;

(iii) ШбЯЮЫЭХЭШХ ЪЮФР Т вРСЫШзЭЮЬ ТШФХ, ЧРЯШблТРп ваЮЩЪШ hT; C; Si.

²бХ ТлзШбЫХЭШп ЯЮЫЭЮбвмо ЮСЮбЭЮТРвм. µбЫШ ЭгЦЭЮ, ЯЮЯаЮСгЩвХ ТТХбвШ Ш ШбЯЮЫмЧЮТРвм бЮЪаРйХЭШп:

A ´ S(S(0!;0 4); B), B ´ S(¤(0!);0 3). ²ЮЧЬЮЦЭЮ, бРЬ ШбеЮФЭлЩ вХаЬ ЧРЯШбРЭ ЭХ вРЪ, ЪРЪ бЫХФЮТРЫЮ Сл. ¿ЮЯаЮСгЩвХ, ХбЫШ бЮзвХвХ ТЮЧЬЮЦЭлЬ Ш ЭХЮСеЮФШЬлЬ, ТЭХбвШ ЪЮааХЪжШо.

2 ´Ып вХаЬР P ´ (¸x:((¸z:z x 2)£))3 ТлЯЮЫЭШвм:

(i) ЪЮФШаЮТРЭШХ ЯЮ ФХ ±аХЩЭг Ш ЪЮФЮУХЭХаРжШо (P ´ S(¤(S(¤(S(S(0!; 1!));0 2);0 £);0 3)). µбЫШ нвЮв ЪЮФ ЭХ вЮ, звЮ ЭгЦЭЮ, вЮУФР ЯЮбваЮЩвХ бТЮЩ бЮСбвТХЭЭлЩ;

(ii) ШбЯЮЫЭХЭШХ ЪЮФР Т вРСЫШзЭЮЬ ТШФХ, ЧРЯШблТРп ваЮЩЪШ hT; C; Si. ²ЮЧЬЮЦЭЮ, ЫгзиХ СгФХв ШбЯЮЫмЧЮТРвм бЮЪаРйХЭШп A ´ S(¤(B);0 £) Ø B ´ (S(S(0!; 1!));0 2). °, ТЮЧЬЮЦЭЮ, Ш ЭХв.

µбЫШ Т еЮФХ ШбЯЮЫЭХЭШп ЪЮФР ТЮЧЭШЪЭгв ЭХЯаХФТШФХЭЭлХ бЫЮЦЭЮбвШ, вЮ, ЬЮЦХв Слвм, Ъ ЯЮЫЭЮЬг гбЯХег ЯаШТХФХв ШЧЬХЭХЭШХ ШбеЮФЭЮУЮ вХаЬР, ЪЮвЮаЮХ гЫгзиШв вШЯШЧРжШо.

3 ´Ып вХаЬР P ´ (¸x:(¸op:op 7 x)¡)3 ТлЯЮЫЭШвм:

(i) ЪЮФШаЮТРЭШХ ЯЮ ФХ ±аХЩЭг;

(ii) ЯаХЮСаРЧЮТРЭШХ Ъ ТШФг (¸op:op(7; (¸x:x)3))¡, ЪЮвЮаЮХ ФХвРЫмЭЮ ЮСЮбЭгЩвХ Ш аРЧкпбЭШвХ,

(iii) ЪЮФЮУХЭХаРжШо (ЬЮЦХв Слвм, аХЧгЫмвРв Хбвм S(¤(S(0!; h07; S(¤(0!);0 3)i)); ¤(¡ ± Snd)), Ш нвЮ ЯЮФЮЩФХв ФЫп ШбЯЮЫЭХЭШп ?)

(iv) вРСЫШзЭЮХ ШбЯЮЫЭХЭШХ.

4 ´Ып вХаЬР P ´ (¸x:(¸z:(¸x:(z x) £ 2)1)(¸y:y + x))5 ТлЯЮЫЭШвм ЪЮФШаЮТРЭШХ ЯЮ ФХ ±аХЩЭг, ЪЮФЮУХЭХаРжШо Ш ШбЯЮЫЭХЭШХ ЯЮбаХФбвТЮЬ вРСЫШзЭле ТлзШбЫХЭШЩ, ТбХ б ЯЮФаЮСЭлЬ ЮСЮбЭЮТРЭШХЬ. БаРЧг ЧРЯШиШвХ ЮвТХв. (²ЮЧЬЮЦЭЮ, звЮ ЯЮЬЮйм ЮЪРЦХв нвЮв ЪЮФ: P 0 ´ h05ih¤(D)ih01ihC; 02i£, ÓÔÕ B ´ hC; 02i£, C ´ hF st Snd; Sndi",

D ´ hSnd; F st Sndi+.)

5´Ып вХаЬР R ´ (¸x:(¸z:(¸f:f z)sqr)((¸y: + x y)1))3 ТлЯЮЫЭШвм ЪЮФШаЮТРЭШХ ЯЮ ФХ ±аХЩЭг, ЪЮФЮУХЭХаРжШо

ØШбЯЮЫЭХЭШХ ЯЮбаХФбвТЮЬ вРСЫШзЭле ТлзШбЫХЭШЩ. ´Рвм ЯЮФаЮСЭлХ ЮСЮбЭЮТРЭШп. ½РзЭШвХ б вЮУЮ, звЮ ЧРЯШиШвХ аХЧгЫмвРв. (sqr ЮСЮЧЭРзРХв ЮЯХаРжШо ТЮЧТХФХЭШп Т ЪТРФаРв.)

2

² ² ² ÂÕáâ.

АРЧФХЫ ²-1

´Ып ЯаЮУаРЬЬл-вХаЬР Mi ТлЯЮЫЭШвм:

(i) бТХавлТРЭШХ ЯЮ (¯);

(ii) ЪЮФШаЮТРЭШХ ЯЮ ФХ ±аХЩЭг;

(iii) ЯЮиРУЮТго ЪЮФЮУХЭХаРжШо, в.Х kMidBk = : : : Ш в.Ф.; ХбЫШ ЯЮЭРФЮСШвбп, ТлЯЮЫЭШвХ ЮЯвШЬШЧРжШо;

(iv) ЯЮиРУЮТЮХ ШбЯЮЫЭХЭШХ ЪЮФР ЧРЬлЪРЭШХЬ, в.Х. kMidBk½ = . . . Ш в.Ф., ЪЮвЮаЮХ ЧРТХаиРХвбп ЯЮЫгзХЭШХЬ аХЧгЫмвРвР- ЧЭРзХЭШп. ²бХ иРУШ бваЮУЮ ЮСЮбЭЮТРвм.

¿ãáâì:

АРЧФХЫ ²-2

A ´РЭл ЯаЮУаРЬЬл: ¸x:x, ¸xy:xy, ¸xyz:xyz Ø S(S(KS)(S(KK)I))(KI). ´Рвм бЫХФгойШЩ РЭРЫШЧ:

²ЪРЪ ТХФгв бХСп нвШ ЯаЮУаРЬЬл?

²Т зХЬ Ше беЮФбвТЮ?

²Т зХЬ аРЧЫШзШХ?

²бХ ТлТЮФл бваЮУЮ ЮСЮбЭЮТРвм.

B¿ЮЫмЧгпбм ЪЮЬСШЭРвЮаЭлЬ ЪЫХХЬ S, " Ø ±, гбвРЭЮТШвм бЮЮвТХвбвТШХ ЬХвРЮЯХаРжШЩ-бЪЮСЮЪ [¢ ; ¢] Ø < ¢ ; ¢ >

ØФРвм РЭРЫШЧ Ше ЪЮЭвХЪбвЭЮУЮ ШбЯЮЫмЧЮТРЭШп.

(ГЪРЧРЭШХ: ФЮЪРЧРвм, звЮ 8x; y:S[x; y] = "± < x; y >).

АРЧФХЫ ²-3

A ´ЮЪРЧРвм, звЮ Dx1 ± Dx2 ± : : : ± Dxn пТЫпХвбп ЪЮааХЪвЭлЬ ЯЮУагЦХЭШХЬ (ТШавгРЫШЧРжШХЩ) ЪЮЭХзЭЮЩ ЯЮ-

бЫХФЮТРвХЫмЭЮбвШ ФЫШЭл n: x1; x2; : : : xn. ¿ЮЫмЧгпбм вХЮаШХЩ ЪЮЬСШЭРвЮаЮТ, ЭРЯШбРвм ЯаЮУаРЬЬг-ЪЮЬСШЭРвЮа, ЪЮвЮалЩ ШЧ n-ЯЮбЫХФЮТРвХЫмЭЮбвШ ТлФХЫпХв i-лЩ нЫХЬХЭв (ФЫп 1 · i · n). ²бХ ТлТЮФл бваЮУЮ ЮСЮбЭЮТРвм.

B ГЯЮапФЮзХЭЭго ЯРаг ШЧ a1, a2 ЬЮЦЭЮ ЮЯаХФХЫШвм Ш ЯЮбаХФбвТЮЬ [a1; a2] ´ Da1a2:

´Ып нвЮУЮ ЮЯаХФХЫХЭШп ваХСгХвбп:

²ФЮЪРЧРвм, звЮ ФЫп бвагЪвгаШаЮТРЭШп ЮСкХЪвЮТ ЯЮбаХФбвТЮЬ гЯЮапФЮзХЭЭле ЯРа 1-п ЯаЮХЪжШп F st ЬЮЦХв Слвм ТлаРЦХЭР ЯЮбаХФбвТЮЬ CIK, Р 2-п ЯаЮХЪжШп Snd ЯЮбаХФбвТЮЬ CI(KI);

²ФЫп баХФл РСбваРЪвЭЮЩ ЬРиШЭл, ТлаРЦХЭЭЮЩ ЪЮЭбвагЪжШХЩ гЯЮапФЮзХЭЭЮЩ ЯРал

Ш ЯЮЫмЧгпбм ЪЮЬСШЭРвЮаРЬШ, ЭРЯШбРвм ЯаЮУаРЬЬг, ФРойго ФЮбвгЯ Ъ нЫХЬХЭвг xi ÔÛï 0 · i · n.

3