21. Внешнее прямое произведение групп.

Def: ] G₁,…,G_n– группы, рассмотрим мн-во

G=G₁…G_n (декартово произведение), т.е. G={(g₁,…,g_n): g_iG}. На мн-ве G введем операцию  (g₁,…,g_n)(g₁,…,g_n)=(g₁g₁,…,g_ng_n). Тогда группа G() наз. внешним прямым произведением групп G₁,…,G_n. Рассмотрим

G_i={(e_g1,…,e_gi-1,g_i,e_gi+1…) g_iG_i} e_gi – ед. элемент группы G_i.

Св-ва: 1) G_iG; 2) g_ig_j=g_jg_i (ij), где G_i={g_i: g_iG_i}; 3) Каждый элемент gG единственным образом представляется в виде: g=g_i…g_n; 4) G_i<_ijG_j> =e_G=(e_G1,…,e_Gn).

22. Внутреннее прямое произведение групп. Критерий прямого произведения групп.

Def: ] H₁,…,H_k<G, то G – внутреннее прямое произведение (прямая сумма) подгруппы H₁,…,H_k, если: 1) H_iG_k i=1,k; 2) G=<_{i= 1}H_i >; 3) H_i<_ijH_j>=e.

Утв. (Критерий): G=H₁^… ^H_k , H_i<G (внутр. прямое произведение)  1) Hi, Hj (ij) – поэлементно перестановочны (h⁽ⁱ⁾H_i h^(j)H_j, то h⁽ⁱ⁾h^(j)=h^(j)h⁽ⁱ⁾); 2) Любой элемент gG однозначно представим в виде g=g_i…g_k g_iH ( gG:  g_iH_i i=1,k: g=g_i…g_k) ◄без док-ва►

23. Связь внешнего и внутреннего прямых произведений групп.

Утв.: ] G– группа, G₁… G_k – внешнее прямое произведение групп G₁,…,G_k. Тогда GG₁… G_k   H₁,…,H_k<G: 1) G_iH_i i=1,k; 2)G=H₁^…^H_k – внутреннее прямое произведение подгрупп H₁,…,H_k ◄без док-ва►

Пр.: Z₆(+)={0,1,2,3,4,5}, Z₃(+)={0,1,2}, Z₂(+)={0,1}. Построим внеш. пром. сумму: Z₂+^Z₃={(a,b): aZ₂ bZ₃}.

Рассмотрим в Z₂+^Z₃ мн-во H₁={(0,0), (1,0)} – группа, H₂={(0,0), (0,1), (0,2)} – группа. Заметим, что H₁Z₂(+) {изоморфизм}. : (,)|Z₂. H₂Z₃(+). Рассмотрим Z₆(+), рассмотрим подгруппы: <2><Z₆ и <2>={0,2,4} (+) – обратный по mod 6, <3><Z₆ и <3>={0,3} (+). Покажем, что Z₆(+)=<2>+^<3>. Проверим определение: 1) <2>, <3>: <2>Z₆, <3>Z₆ т.к. Z₆– аб. группа; 2) <<2><3>>=^?Z₆. Действит.

3) <2><3>={0}. Т.о. Z₆Z₂+^Z₃.

24. Циклические группы. Классификация циклических групп.

Def: ] G– конечная группа gG. Порядком элемента g в группе G наз. min nN:gⁿ=1 (gg=g²) обознач. ord_Gg.

Def: Группа G– циклическая группа, если <a>=G, aG.

Утв.: ] G– циклическая группа, тогда 1) GZ(+) либо 2) GZ_n(+) nN ◄ ] aG. Возможны два случая а) ord_Ga=n б)  nN aⁿ1 (1 – ед. элемент гр.G). Рассмотрим б): : GZ(+) (aⁿ|n) тогда: т.к. <a>={a^n, nZ }, т.о. – биективно и – гомоморфизм. (т.к. (a^a^)=(a^+)=(a^)+(a^))  G Z(+). Рассмотрим а): Заметим, что G={a, a², a³, …, a^n-1, aⁿ=1}. ]: ZG (S|Q^{S(mod n)}). Легко видеть, что – сюрьективное отображение и –гомоморфизм, т.е. – эпиморфизм. Найдем Ker={n, Z}=nZ. По теореме об эпиморфизме Z/_nZ.(Z)=G, т.е. G Z_n(+)►

25. Подгруппы циклических групп.

Утв.: ] G– циклическая группа H<G. Тогда Н – циклическая группа. ◄] |G|=n, H<G, m – min натур. число: a^mH (G=<a>). Покажем, что H=<a^m>.

] a^kH. Поделим k с остатком на m, k=qm+r (0rm), a^r= a^k(a^m)^qH. По выбору элемента m  r=0. Т.е. a^k=(a^m)^q  H=<a^m>. Случай G=Z(+) аналогично самим►

26. Подгруппы конечных циклических групп.

Утв.: ] G– цикл. и |G|=n, тогда d|n  H<G: |H|=d ◄] G=<a>. Рассмотрим H=<a^n/d>. Покажем, что |H|=d. Заметим, что (a^n/d)^d=1. Допустим, что  <d, (a^n/d)^=1  (a^n/d)^=a^n/d=1, но n/d<n, т.е. <a>G (т.к. <a> <G)  orda^n/d=d и H=<a^n/d> ►