27. Фактор-группы циклических групп.

Утв.: G– цикл. группа H<G, тогда G/_H – цикл. группа ◄: G(G) – гомоморфизм: Ker= H<G. Th об эпиморфизме  (G)G/_H. Покажем (G) – циклическая группа. ] G=<a>, тогда <(a)>=(G)►

] G– цикл. группа, |G|=p₁^1… p_k^k – простые числа. Тогда GZp₁^1+^…+^Zp_k^k (внешняя прямая сумма) ◄Сначала покажем, что если G=G₁+^G₂, G_i=<g_i>, i=1,r, G– циклич.  НОД(n₁,n₂)=1, где ordg₁=n₁, ordg₂=n₂. ■] НОД(n₁,n₂)=1. Выберем элемент g=(g₁+^g₂), тогда

ordg=НОК(ordg₁,ordg₂)=ordg₁ordg₂/НОД(ordg₁,

ordg₂)=n₁n₂  G– циклич. группа. //порядок элемента равен порядку группы G=<g>//. В обратную сторону: G– циклич. группа, т.е. G=<g>=<g₁^~,g₂^~>, но порядок

ord(g₁^,g₂^)=n₁n₂=ordg₁^ordg₂^/НОД(ordg₁^,ordg₂^)=НОК(n₁,n₂)  Заметим, что НОК(ordg₁^,ordg₂^)| НОК(n₁,n₂), т.е. n₁n₂| НОК(n₁,n₂)  НОК(n₁,n₂)=1■ Из этого следует, что Zp₁^1+^…+^Zp_k^k – цикл. группа и |Zp₁^1+^…+^Zp_k^k|=p₁^1…p_k^k=|G|  GZp₁^1+…+Zp_k^k►

Замеч.: Рассмотрим две группы (р– простое число) G₁=Zp²(+) и G₂=Zp+Zp(+), |G₁|=|G₂|=p², G₁– циклич. G₂– не циклич., т.к. (a,b) Zp+Zp; org(a,b)=НОК(orga,orgb)= G₁G₂ 3) При гомоморф. порожд. G₁ должен перейти в порожд. G₂, а этого не происходит, т.к. не изоморфизм, т.к. порядок изменяется ordgord((g)).

28. Группы подстановок. Симметрическая группа.

Def: ] М– мн-во любые биективные преобразования мн-ва М :ММ наз. подстановками на М. В дальнейшем б.р. |M|<. Исп. запись

Мн-во всех подстановок на мн-ве M обознач. S_M.

Св-ва: 1) S_M – группа относит операции композиции отображ: ₁:ММ, ₂:ММ, ₁₂:ММ; 2)] |M|=|N|, тогда S_MS_N ◄►

Def: ] М={1,…,n}. Группа S_M=S_N наз. симметрической группой подстановок порядка n. Пр.:

29. Теорема Кели.

Th Кели: ] G– конечная группа, тогда  nN и  HS_n: GH ◄] G={g₁,…,g_n}. Рассмотрим : GS_n, заданное след. образом

] H=(G). Покажем, что – инъективное отображение. Допустим, что g_i^=g_j^, по g_ig_jG, т.е. g_kg_i= g_kg_j (g_k– элементы последней строки подстановки (g_i^g_j) k=1,n  g_i=g_j – противореч. Покажем, что – гомоморфизм, т.е. (g_ig_j)=g_i^g_j =// см. вставку 1//=(g_i)(g_j). ] M=(G), т.о. : G(G)=H является изоморфизмом, т.е GH<S_GS_n►

Следствия: 1) Сущ. конечное число различных групп заданного порядка; 2) Число различных конечных групп не более чем счетно.

30. Разложение подстановок в произведение независимых циклов.

Def: ] gS_n и g=(a₁₁,…,a_1k)(a_S1,…,a_Sks), a_iji{1,…,n}, причем {a_1,…,a_k}{a_1,…,a_k}=, для ,{1,…,s} и k₁+…+k_s=n, 1k_i n. Тогда такое представление подстановки g наз. цикловой записью подстановки g и k_i  длине цикла (a_i1…a_ik).

Пр.:

(1,3,5)(2,4)(6)(7)(1,7,6,)(2,5,4,)(3)=(1,3,2,5,7,6)(4)

Def: 1) подстановка, состоящая из одного не единичного цикла наз. циклом, т.е g=(a₁…a_s); 2) Циклы (a₁,…,a_k) и (b₁,…,b_k)S_n наз. независимыми, если {a₁,…,a_k}{b₁,…,b_k}={}; 3) Подстановки g₁ и g₂S наз. независимыми, если любые циклы подстановок g₁ и g₂ образуют независимые циклы.

Пр.: g₁=(1,2)(3,4), g₂=(5,6,7)  g₁ и g₂ – независимые подстановки.

Св-ва: 1) Если g₁ и g₂ – независимые подстановки, то g₁g₂= g₂g₁ – композиции; 2) g S_n представима в виде произведения независимых циклов.