8. Определения и примеры групп.

Def: ] А()– мн-во с бинарной операцией (): 3) Если А()– моноид и  аА: а– обратим, то А()– группа; 4) Если А()– группа и – коммутативна, то А()– абелева группа.

А()– группа, если: 1) – ассоциативна; 2)  еА(): е– ед. элемент ( аА  еа=ае=а); 3)  аА()  а^1: а^-1а=аа^1=е.

Пр.: 1) GL(R)={AM_n(R)| A–обратима}– группа отн.  (полная линейная группа); 2) SL(R)={AM_n(R)| |A|=1}–группа отн.  (|АВ|=|А||В|=1, |А||А^-1|=1, |А^-1|=1/|A|); 3)

4) ] ={1,2…n}. Мн-во всех биективных преобразований мн-ва  относит. композиции отображений.

S_n– симметрическая группа порядка n (группа всех подстановок). g:  и h: , ge=eg=g,

9. Определения и примеры колец.

Def: Пусть А(,)– мн-во с двумя бинарными операциями называется кольцом, если: а) А()– абелева группа; б) А()– полугруппа; в) операции  и  дистрибутивны, т.е.  a,b,cA  a(bc)=(ab)(ac), (bc)a=(ba)(ca). Def: Кольцо наз. коммутативным, если операция  коммутативна. Def: Кольцо А(,) наз. кольцом с единицей, если относительно  А()– моноид ( еА – ед. элемент относит ).

Пр.: 1) M_n(R)– кольцо матриц под R (+,). A(BC)=(AB)C, A+B=B+A, A(B+C)=AB+AC;

2) Z_m– мн-во вычетов на mod m, Z_m={mZ, 1+mZ, …, (m-1)+mZ}. Определим операции на Z_m: а) [i+ mZ]+[j+ mZ]=[(i+j)(mod m)+mZ], б) [i+ mZ][j+ mZ]=[(ij)(mod m)+mZ].

m=7: [6+7Z]+[5+7Z]=[4+7Z], [6+7Z][5+7Z]=[2+7Z].

Обратный: [а+mZ]+[x+mZ]= [mZ] (xm-a),

-[3+7Z]=[4+7Z] единица [1+mZ]. Z_n– коммутативное кольцо с единицей. Z_m– кольцо вычетов по mod m, Z_m={0,…,m-1}

Пример m=3

m=2

Z₂={[4+2Z],[-3+2Z]}

3) Z(+,) – ком. кольцо с единицей.

10. Определения и примеры полей. Делители нуля.

Def: Пусть А(,)– мн-во с двумя бинарными операциями, А(,)– наз.полем, если: 1) А(,)– коммутативное кольцо с единицей; 2) ] А– ед. элемент А() и  aA, a  а^1– обратный элемент к а относительно .

Пр.: 1) Кольцо многочленов над полем. Пусть P– поле. Рассмотрим мн-во последовательностей вида: (а₀,а₁ …,а_k) а_iР. Если последовательность обладает тем свойством, что  iN: j>i а_j= а_j+1=…=0, то такая послед. наз. многочленом. ] P[x]– мн-во всех многочленов над полем P. На P[x] определим операции:

а) (а₀,а_1,а₂…,а_k)+(b₀,b_1,b₂…,b_k)=(а₀+b₀, а₁+ b₁,…);

б) (а₀,а_1,а₂…,а_k)(b₀,b_1,b₂…,b_k)=(c₀,c₁…),

C_k=^k_i=0a_k-ib_i. P[x](+,) – коммутативное кольцо с 1◄►.

Степенью многочлена будем называть такое iN, что a_i0, a₊₁=a_I+2=…=0. Рассмотрим многочлены, обозначим: (1,0,0,…)=1, (0,1,0,…)=х, (0,0,1,0,…)= =хх=х², (0,0,…,1,0,…)=хⁱ. Легко видеть, что многочлен (а₀,…,а_i,а_i+1,… ) i-ой степени может быть записан в виде: а₀+а₁х+а₂х²+…+ а_iхⁱ.

2) Поля: Q– рациональные числа, R– действительные числа, C– комплексные числа.

3) P={a+2b| a,bQ} (+,)– поле, где:

а) (a+2b)+(c+2d)=(a+c)+2(b+d);

б) (a+2b)(c+2d)=ac+2bd+2(cb+da).

11. Подгруппа. Критерий подгруппы.

Def: ] G()– группа G₁G, тогда группа G₁()– подгруппа группы G. Обозначается G₁< G.

Утв.: ] G₁<G: 1) Если е – единичный элемент G и е– ед. элемент G₁, то е=е; 2) аG, если а_G^1– обратный в G и а_G1^1обратный в G₁, то

а_G^1=а _G1^1◄►.

Утв. (Критерий подгруппы): ] G₁G(),G()– группа, тогда G₁()– подгруппа   a,bG₁  ab^1G₁ ◄ очевидно.  надо показать, что G₁()– группа: а) по условию, положив b=a, получим aа^1=еG₁; б) т.к. еb^1G₁   bG элемент b^1G₁; в) ассоциативность есть, т.к. G₁G; г)] a,bG₁, по пункту (б) b^1G₁ 

a(b^1) ^1= abG₁   – операция на G₁►.