8.10. Представление сигнала в комплексной форме. Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал

Как детерминированные, так и случайные процессы обычно представля­ются действительными функциями времени . Вместе с тем, часто удобнее представлять их векторами на комплексной плоскости или записывать в симво­лической форме. Напомним смысл широко используемой в теории электриче­ских цепей символической записи синусоидальных колебаний. Практическое значение комплексного представления случайных сигналов: оно позволяет представить любой случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной амплитудой огибающей и фазой .

Действительная функция:

– полная фаза,

– амплитуда (огибающая),

– мгновенная частота,

– начальная фаза.

В символической форме может быть представлена следующим образом:

Рисунок 8.28. Сущность округления огибающей СП

Иначе говоря, символическое представление получается добавле­нием к действительной части определенным образом подоб­ранной мнимой части .

Последняя выбирается так, чтобы проекция на ось абсцисс соответст­вовала исходной действительной функции

Рисунок 8.29. Разложение СП на ортогональные составляющие

В нашем случае мнимая часть колебания находится в квадратуре (сдвинута на угол ) с действительной частью .

Комплексный вектор длиной вращается с угловой скоростью против часовой стрелки; конец вектора описывает окруж­ность.

Функции и называются сопряженными по Гильберту. Доказано, что действительная и мнимая составляющая функции связаны между собой па­рой взаимно однозначных интегральных преобразований Гильберта:

Прямое преобразование Гильберта

Обратное преобразование Гильберта

Аналогично для функции сопряженной является функция .

Например:

т.е.

Рисунок 8.30. Сущность получения сопряженной по Гильберту функции

Сигнал называется «аналитическим», если и составляют пару преобразований по Гильберту:

Функция называется сопряженной с функцией по Гильберту. При таком выборе и огибающая и фаза сигнала определяются одно­значно:

Если эффективная ширина спектра сигнала мала по сравне­нию с его частотой , то и изменяются медленно по сравнению с функцией . Можно показать, что функции соответствует со­пряженная функция , а функции соответствует . Если исходный сигнал представлен рядом Фурье:

то сопряженный ему ряд:

Таким образом, простейшему сигналу в виде гармонического колебания соответствует аналитический сигнал

8.11. Комплексное представление узкополосного процесса. Квадратур­ные составляющие и их свойства

Рисунок 8.31. Эффективная полоса СП

При рассмотрении многих задач удобно выражать сигнал в виде суммы элементарных сигналов, каждый из которых является комплексной функцией времени, либо рассматривать сам сигнал как комплексную функцию:

где и – огибающая и фаза сигнала. Действительный сигнал в этом случае определяется следующим выражением:

Но

Преобразуя, получим:

Здесь и – квадратурные составляющие узкополосного случай­ного процесса.

Вывод:

Любой узкополосный случайный процесс может быть представлен сум­мой двух гармонических составляющих средней частоты и со случайными амплитудами и фазами.

Рисунок 8.32. Представление узкополосного СП

и в узкополосном сигнале – медленно меняющиеся функции времени по сравнению со средней частотой .

Таким образом, узкополосный случайный процесс можно представить в виде амплитудно-модулированного сигнала со случайной амплитудой и случайной фазой .

Поскольку находятся в квадратуре, то будет гипотенузой (рис. 8.33).

Рисунок 8.33. Представление узкополосного СП через квадратурные состав­ляющие

Свойства квадратурных составляющих:

Т.к. и являются случайными функциями времени, то законы распределения совпадают с законом распределения , т.е.

1. , т.е. ортоганальны в совпадающие моменты времени, т.е.

2. и .

3.

4. Дисперсия огибающей в два раза больше дисперсий со­ставляющих.

Представление случайного процесса квадратурными составляющими имеет большое значение для анализа приемных устройств при когерентном и некогерентном приеме.