8.8. Прохождение случайного сигнала через нелинейные безинерци­онные радиотехнические цепи

Рассмотрим теперь, как воздействует случайный сигнал на нелинейную систему. В общем случае это весьма трудная задача. Дело обстоит значительно легче, когда речь идет об безинерционных нелинейных системах, в которых выходной сигнал в данный момент однозначно определяется входным сигна­лом в тот же момент времени.

Пусть известна характеристика нелинейного устройства и стати­стические свойства входного сигнала . Необходимо определить статистические свойства выходного сигнала . В принципе, эта за­дача сводится к преобразованию переменных.

Рассмотрим простейший случай одномерной плотности вероятности слу­чайной величины. Плотность вероятности случайной величины известна.

Рисунок 8.22. Определение ФПВ СП на выходе НЭЦ через входные характери­стики

Предположим, что существует однозначная обратная функция . Т.к. случайные величины и связаны однозначной функциональной зави­симостью, то из того, что заключено в достаточно малом интервале ( ) следует, что и будет находиться в интервале ( ), где , а сами вероятности равны произведению плотности вероятности на или .

Поскольку плотности вероятностей не могут быть отрицательными, то в формулу (8.28) следует поставить модуль производной.

Далее можно найти числовые характеристики. Их легко вычислить через плотности вероятностей или через .

1. Математическое ожидание.

Здесь учтена функциональная связь .

2. Дисперсия.

3. Функция корреляции.

4. Энергетический спектр.

Выводы:

Спектр сигнала на выходе нелинейного элемента отличается от спектра на входе вследствие появления новых частотных составляющих, которые от­сутствовали во входном сигнале. Спектр обычно содержит низкочастотные со­ставляющие вблизи нулевой частоты и участки высокочастотных составляю­щих.

Таким образом, при воздействии случайного процесса на нелинейную систему изменяется спектр процесса, законы распределения вероятностей и все связанные с ними параметры (плотность, мат. ожидание, дисперсия и т.д.).

8.9. Примеры прохождения случайных сигналов через линейные инерционные и нелинейные безинерционные радиотехнические цепи

1. Пусть на вход линейной инерционной цепи с коэффициентом пере­дачи воздействует «белый» шум с равномерным спектром .

Энергетический спектр выходного процесса:

Спектр помехи на выходе цепи в этом случае повторяет по своей форме частотную характеристику цепи с возведенными в квадрат ординатами.

Рисунок 8.23. а) спектр входного сигнала;

б) АЧХ цепи;

в) спектр процесса на выходе ЛИЦ

Мощность шума на выходе при этом равна:

или, вводя эффективную полосу пропускания системы

Рисунок 8.24. Сущность определения мощности процесса на выходе ЛИЦ

получаем

где – мощность процесса в полосе .

Распределение плотности вероятностей случайного процесса (сигнала или помехи) на выходе линейной инерционной системы в общем случае отли­чается от плотности вероятностей процесса на входе. В одном очень важном случае плотность вероятностей при линейных преобразованиях не изменяется. Это случай гауссовского процесса, т.е. если процесс на входе линейной инер­ционной системы имеет нормальную плотность вероятностей мгновенных зна­чений, то он остается нормальным и на выходе. Изменяются только параметры процесса , (дисперсия или мощность), функция корреляции (τ) и в соответствии с .

2. Теперь рассмотрим прохождение случайного сигнала (процесса) через нелинейную безинерционную цепь.

Сделаем некоторые предварительные замечания:

Рисунок 8.25. Характеристика нелинейной цепи

В силу функциональной зависимости:

или

В общем случае:

Пример. Рассмотрим определение плотности распределения вероятностей на выходе квадратичного преобразователя с характеристикой:

Такое преобразование имеет место, например, в двухполупериодном квадратичном детекторе (рис. 8.26).

Рисунок 8.26. Характеристика квадратичного преобразователя

Пусть воздействие имеет нормальное распределение (с нулевым сред­ним):

Подставив это выражение вместо плотности :

окончательно получим

Рисунок 8.27. ФПВ на выходе квадратичного преобразователя

Из рисунка видно, что при , .