- •1.Финитные функции.
- •2. Свертка финитных функций
- •3. Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.
- •4.Определение обобщенной функции. Примеры обобщенных функций.
- •5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.
- •6.Дифференцирование обобщенных ф-ций
- •7.Интегрирование обобщенных функций.
- •8. Носители обобщенных функций.
- •9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
- •11. Композиция эволюционных операторов
- •12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
- •13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
- •14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.
14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.
Опр. Пусть A – оператор Вольтера-Виннера:
, , B – полиномиальный оператор Вольтера-Виннера степени r: ,
И пусть C-оператор Вольтера-Виннера, являющейся композицией операторов B и A, т.е. С= B○A, а F- оператор Вольтера-Виннера, являющейся композицией операторов A и B, т.е. F= A○B.
Оператор B называется левым квазиобратным степени r к оператору A, если , т.е. и при
Оператор B называется правым квазиобратным степени r к оператору A, если , т.е. и при
Оператор B называется квазиобратным степени r к оператору A, если он одновременно является левым и правым квазиобратным степени r к оператору A.
Пусть , , , -системы спектральных характеристик операторов A,B,C,F соответственно.
Тогда для любого натурального числа n имеем: (1)
(2)
Оператор B является левым квазиобратным степени r к оператору A, если выполняются условия: и для любого n=2;3;…;r выполнено неравенство: (4)
Оператор B является правым квазиобратным степени r к оператору A, если выполняются условия: и для любого n=2;3;…;r выполнено неравенство:
Отметим, что условия (3) и (5) равносильны. Они означают, что функция принадлежит алгебре и при этом . Если , то мы будем говорить, что спектральная характеристика обратима в алгебре .
Рассм. равенство (4). Отметим что если m=n то , откуда следует что . Следовательно выделяя в первой сумме соотношения (4) слагаемые при m=n и перенося всё остальное в правую часть равенства, получим: , т.е.
. В части при n=2 имеем: m=1, и (8)
Для случая n=2 из соотношения (8) получаем: