- •1.Финитные функции.
- •2. Свертка финитных функций
- •3. Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.
- •4.Определение обобщенной функции. Примеры обобщенных функций.
- •5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.
- •6.Дифференцирование обобщенных ф-ций
- •7.Интегрирование обобщенных функций.
- •8. Носители обобщенных функций.
- •9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
- •11. Композиция эволюционных операторов
- •12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
- •13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
- •14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.
5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.
Пусть – пр-во финитных функций.
Опр. Линейный непрерывный функционал на пр-ве наз. обобщенной функцией (на числовой оси ).
– пр-во обобщенных функций (сопряженное к ).
Число наз. значением обобщенной ф-ции на финитной ф-циии , и обознач.:
В пр-ве определены операции сложения и умножения на число:
1) Если , то
2) Если – число и , то
Док-ва, что так определенные функционалы и линейны и непрерывны в пр-ве , т.е. явл. обобщенными ф-циями, легко следуют из определений.
Из последнего рав-ва следует : .
Так, если и - обобщенная ф-ция, то
(1)
Т.к. произведение бесконечно дифференцируемой ф-ции на финитную ф-цию явл. финитной ф-цией, то рав-во (1) корректно. Докажем, что оно определяет обобщенную ф-цию . Т.к. – обобщенная ф-ция, то
:
, (2)
где
.
Подставляя это нер-во в (2) получим,
Отсюда следует, что – обобщенная ф-ция.
3) Рассмотрим операцию замены переменной. Пусть – биективная бесконечно дифференцируемая ф-ция на числовой прямой. Если – непрерывная ф-ция на числовой прямой, то для имеем:
(3)
где берется знак +, если , и знак -, если . Обозначим .
Тогда (3):
Если – регулярная обобщенная ф-ция, порожденная ф-цией , а – регулярная обобщенная ф-ция, порожденная ф-цией ( - операция композиции), то получим
(4)
Так, композицией обобщенной ф-ции и биективной ф-ции (бесконечно дифференцируемая) наз. обобщенная ф-ция , которая удовлетворяет соотношению (4).
Обобщенная ф-ция обозначается также , а про ф-цию говорят, что она осуществляет замену аргумента в обобщенной ф-ции .
6.Дифференцирование обобщенных ф-ций
Одной из наиболее важнейших операций над обобщенными ф-ми явл операция дифф-ния.
Пусть f – регулярная обобщённая ф-ция, порожденная непрерывно дифференцируемой на числовой оси функцией f(t). Тогда . Применяя ф-лу интегрирования по частям, получим: , .
Опр. Производной обобщённой ф-ции f называется обобщенная функция , определяемая равенством (1)
Понятие производной ф-ции определено для любой обобщённой ф-ции. Оператор дифферен-ния обобщенной ф-ций (D) – это оператор, сопоставляющий любой обоб. ф-ции ее производную. D – линейный оператор, обладает след. св-ми:
1.однородность: и
2.аддитивность: .
D – лин-ый оператор, действующий из про-ства в прос-во .
Cправедлива cледующая ф-ла (2)
Д-во: ,
Примеры. 1) Пусть – регулярная обоб ф-ция, порожденная ф-ей Хевисайда , тогда , т.е.
2)sgn – регулярная обоб ф-ция, порожденная ф-ей , , т.е. = .
3) - регулярная обоб ф-ция, порожденная ф-ей , тогда , т.е. = .
Опр. Производной второго порядка обобщённой ф-ии наз обобщённая ф-ция , являющаяся производной от производной первого порядка обоб ф-ии , т.е.
тогда .
Пример. из примера 2) и 3) => = и = => mod’’=(mod’)’=sgn’=2 . Оператор, сопостовляющий любой обоб ф-ии ее 2-ую производную, будем обозначать
Опр. Производной n-ого порядка обобщённой ф-ции наз обобщённая ф-ция , явл производной от производной (n-1)-го порядка обобщённой ф-ции, т.е. . . Линейный оперетор, сопост-ий обоб щённой ф-ции ее n-ую производную - .