- •1.Финитные функции.
- •2. Свертка финитных функций
- •3. Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.
- •4.Определение обобщенной функции. Примеры обобщенных функций.
- •5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.
- •6.Дифференцирование обобщенных ф-ций
- •7.Интегрирование обобщенных функций.
- •8. Носители обобщенных функций.
- •9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
- •11. Композиция эволюционных операторов
- •12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
- •13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
- •14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.
7.Интегрирование обобщенных функций.
Опр. Первообразной обобщенной функции назыв. обобщенная функция , производной которой является данная функция , т.е.: (1).
F+C-также первообразная обобщённой функции,где C-регулярная обобщённая функция,порождённая постоянной функцией.
Действительно, . Таким образом, в отличии от производной первообразная обобщенной функции определена неоднозначно.
Опр. Совокупность все первообразных обобщенной функции назыв. неопределенным интегралом обобщенной функции . Обозначается
,
Теорема1:
Любая обобщенная функция имеет первообразную.
Примеры вычисления неопределённых интегралов от обобщённых функций:
, так как [t]’=
Своиства неопределенного интеграла от обобщенной функции:
1. .В самом деле,пусть образная обобщённой функции f.Тогда согласно теореме1 если G , то G=F+C.Дифференцируя получим ,от куда и следует (1).
2. , действительно,f- является первообразной для обобщённой функции .Тогда,применяя теорему 1, получим,что любая первообразная обобщённой функции представима в виде f+c, откуда следует (2).
3. (однородность).Действительно,пусть F-первообразная обобщённой функции f.Тогда -первообразная обобщённой функции , так как ,если G , то G= .Обратно,если G ,то G=F+C, и значит имеем
4. (аддитивность).Действительно, пусть F-первообразная обобщённой функции f, G-первообразная обобщённой функции g.Тогда F+G-первообразная обобщённой функции f+g,так как (F+G)’=F’+G’.Поэтому,если H то H=F+G+C=(F+C)+(G+C)
8. Носители обобщенных функций.
Опр. Пусть G – открытое мн-во на числовой оси. Говорят, что обобщенная ф-ция f обращается в нуль (или равна нулю) на мн-ве G, если для любой финитной ф-ции x из D, носитель которой содержится в мн-ве G, имеем : f(x)=0.
Теорема 1( о существовании наибольшего мн-ва, на котором обобщенная ф-ция обращается в нуль) Для любой обобщенной ф-ции f существует наибольшее открытое мн-во , на котором f обращается в нуль.
Опр. Носителем обобщенной ф-ции f называется множество, обозначаемое sup f, являющееся дополнением к наибольшему открытому мн-ву , на котором f обращается в нуль, т.е. .
Примеры:
1.
2.
3.
4.
5.
Теорема 2 ( о носителе производной) Для любой обобщенной ф-ции f носитель f’ содержится в носителе обобщенной функции f, т.е. имеет место следующее соотношение:
.
Теорема 3 ( о носителе первообразной) Для любой обобщенной ф-ции f, носитель которой содержится в замкнутой полуоси , , существует единственная первообразная F, носитель которой также содержится в , т.е. имеет место следующее соотношение
.
Опр. Обобщенная ф-ция с компактным носителем называется обобщенной финитной ф-цией.
Теорема 4 ( о конечной сингулярности финитных обобщенных ф-ций). Любая финитная обобщенная ф-ция имеет конечный порядок сингулярности.
Теорема 5 ( о распространении финитных обобщенных функций на пространство ) Любую финитную функцию можно распространить до функционала, определенного на пространстве .
Лемма (о плотности D в пространстве ) Пространство D всюду плотно в пространстве , т.е. любая ф-ция из может быть представлена в виде предела последовательности финитных ф-ций.
Теорема 6 ( о единственности распространения финитных обобщенных ф-ций) Распространение финитной обобщенной ф-ции до линейного непрерыного функционала на пространстве есдинственно.
Теорема 7 ( об обобщенной ф-ции с точечным носителем) Если носитель обобщенной ф-ции f – одноточечное множество {s} , то такие неотрицательное число m и константы , что f представима в следующем виде:
.