1.Финитные функции.

Пусть - пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на всей числовой оси.

Опр. Функция наз-ся финитной слева, если сущ-т такое число a, что для всех имеем . Совокупность всех финитных слева функций обозначается . Свойства финитных слева функций:

1. Произведение любого числа и финитной слева функции является финитной слева функцией, то есть если – произвольное число и , то

2. Сумма конечного числа финитных слева функций является финитной слева функцией, то есть если , то

3. Произведение конечного числа бесконечно дифференцируемых функций, одна из которых финитна слева, является финитной слева функцией, то есть если и существует такое , что , то

4. Из свойств 1 и 2 следует, что - векторное пространство пространства , и тогда из свойства 3 получаем, что - подалгебра алгебры

Пример: . График: Докажем что - бесконечно дифференцируема. Для этого достаточно показать, что она бесконечно дифференцируема в точке . Имеем и и, следовательно, функция непрерывна. Далее имеем: и применяя правило Лопиталя, получим и , то ф-ция дифференцируема в точке , причём . Дифференцируя ф-цию при несколько раз, можно прийти в заключению, что её -ая производная выражается формулой: , где полином степени .

Из формулы (1) следует, что при и при , то сущ-т -ая производная функции в точке для любого натурального числа , то есть функция бесконечно дифференцируема в точке , что и требовалось доказать. Опр. Функция наз-ся финитной справа, если сущ-т такое число , что для всех имеем . Обозначается . Множество финитных справа функций обладает теме же свойствами, что и множество финитных слева функций. Пример финитной справа функции: . График:

Опр. Функция наз-ся финитной, если она финитна слева и финитна справа, то есть сущ-т такие числа , что для всех Опр. Функция наз-ся финитной, если сущ-т такой отрезок , вне которого функция обращается(тождественно) в нуль, то есть для всех Опр. Функция наз-ся финитной, если сущ-т такое ограниченное множество на числовой оси, вне которого функция обращается в нуль.Финитная функция обозначается .Носителем функции называется замыкание множества тех точек числовой прямой,в которых функция не обращается в нуль. Обозначения носителя функции х: supp x. Примеры:1.supp

Критерий финитности функций. Пусть . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Для того чтобы функция х была финитной слева, необходимо и достаточно чтобы её носитель был ограничен слева, т.е.

2. Для того чтобы функция х была финитной справа, необходимо и достаточно чтобы её носитель был ограничен справа, т.е.

3. Для того чтобы функция х была финитной, необходимо и достаточно чтобы её носитель был компактным множеством.

2. Свертка финитных функций

При умножении двух функций, представл. рядами Лорана

и

получаем произведение функций, также представляемое рядом Лорана , коэффициенты которого связаны с коэффициентами и следующим образом:

(1)

Последовательность , определяемая формулой (1), называется свёрткой последовательностей и .

Рассмотрим две функции, представленные в виде интегралов Лапласа

,

Перемножая эти функции и проводя формальные преобразова­ния, получаем

,

где , ( ) (2)

Функция , определенная формулой (2), называется сверткой функций и и обозначается .

Бинарная операция называется операцией свертки, или про­сто сверткой.Заменой переменных в правой части формулы (2) получим , ( ) (3)

откуда следует, что .Из равенств и имеем .Это означает, что свертка коммутативна.

Свертка также обладает, как легко следует из линейности инте­грала, следующими алгебраическими свойствами:

1)

2) ;

Свойство 1) называется линейностью свертки по первому аргу­менту, а свойство 2) - линейностью по второму аргументу.

Бинарная операция, обладающая свойствами 1) и 2), называется билинейной. Таким образом, свертка билинейна.

Теорема 1 (о свертке финитных слева функций). Пусть , - финитные слева функции. Тогда:1) свертка , существует и является финитной слева функцией, причем, если и , то ;

2) для любого натурального числа справедливо равенство .

Следствие. Векторное пространство относительно введен­ной операции свертки является коммутативной алгеброй.

В этом случае мы будем говорить, что - сверточная алгебра.

Обозначим через множество всех финитных слева функций, носители которых содержатся на замкнутой полуоси . Тогда, как следует из теоремы, - подалгебра сверточной алгебры .

Теорема 2 (о свертке финитных справа функций). Пусть - финитные справа функции. Тогда

1) свертка существует и является финитной справа функцией, причем, если и

, то .

2) для любого натурального числа m справедливо равенство .

Следствие. - сверточная алгебра.

Обозначим через множество всех финитных справа функций, носители которых содержатся на замкнутой полуоси . Тогда, как следует из теоремы, - подалгебра сверточной алгебры .

Теорема 3 (о свертке финитных функций). Пусть - финитные функции. Тогда

1) свертка существует и является финитной функцией, причем, если и , то

2) для любого натурального числа справедливо равенство

.

Следствие. - сверточная алгебра.

Таким образом, , , являются одновременно и мульти­пликативными алгебрами, и сверточными алгебрами.