- •1.Финитные функции.
- •2. Свертка финитных функций
- •3. Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.
- •4.Определение обобщенной функции. Примеры обобщенных функций.
- •5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.
- •6.Дифференцирование обобщенных ф-ций
- •7.Интегрирование обобщенных функций.
- •8. Носители обобщенных функций.
- •9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
- •11. Композиция эволюционных операторов
- •12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
- •13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
- •14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.
11. Композиция эволюционных операторов
Пусть А и В – эволюционные операторы кратностей и соответственно:
, ,
, .
Рассмотрим композицию операторов B○A:
, .
Теорема (о композиции эволюционных операторов).
Композиция С= B○A эволюционных операторов В и А кратностей соответственно, где
, ,
, .
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики вычисляются по формуле
Следствие 1 (когда ).
Композиция С= B○A эволюционных операторов В и А кратностей соответственно, где
, ,
, .
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики которого вычисляются по формуле
( ),
Где , j-ая компонента импульсной характеристики
Следствие 2 (когда )
Композиция С= B○A эволюционных операторов В и А кратностей соответственно, где
, ,
, .
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики вычисляются по формуле
Следствие 3 (когда и , получаем следствие о композиции эволюционного оператора порядка и оператора Вольтера-Винера ).
Композиция С= B○A эволюционных оператора В порядка
,
и оператора Вольтера-Винера А
, ,
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики которого вычисляются по формуле
( ), где . (1)
12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
Пусть А и В – эволюционные операторы кратностей и соответственно:
, ,
, . Рассмотрим композицию операторов B○A:
, .Причём y=Ax.
Теорема(о композиции эволюционных операторов).
Композиция С=B○A эволюционных операторов В и А кратностей соответственно, где
, ,
, .
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики вычисляются по формуле
Теорема (о композиции эволюционных операторов Вольтера-Виннера) Композиция С=B○Aоператоров Вольтера-Винера В и А:
, ,
,
является оператором Вольтера-Винера
, ,
импульсные характеристики которого вычисляются по формуле :
( ), где .
13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
Пусть принадлежит пространству . Через обозначается совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций φ на пространстве Rn, удовлетворяющих условию:
,
где |t| = t1 + t2 + … + tn.
Рассмотрим тензорное произведение функций и
где
Объединим пространства (Rn) с условием, что a < c (R), т.е. Обозначим полученную совокупность через .
Определение. Обобщенной функцией экспоненциального роста на Rn степени с (c из Rn) называется любой нелинейный непрерывный функционал на пространстве
Определение. Преобразованием Лапласа обобщенной функции называется функция , определяемая на множестве равенством
(1)
где .
Так как функция принадлежит пространству для любого , то из (1) следует, что
Примеры преобразований Лапласа от некоторых функций.
Пример 1. Пусть f = θ – функция Хевисайда. Тогда имеем:
Пример 2. Пусть f = δ – дельта-функция. Тогда имеем:
Рассмотрим свойства преобразований Лапласа.
1.Преобразование Лапласа от производных обобщенной функции имеет вид:
2. Преобразование Лапласа тензорного произведения обобщенных функций вычисляется по формуле
3. Преобразование Лапласа свертки обобщенных функций будет равно