- •1.Финитные функции.
- •2. Свертка финитных функций
- •3. Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.
- •4.Определение обобщенной функции. Примеры обобщенных функций.
- •5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.
- •6.Дифференцирование обобщенных ф-ций
- •7.Интегрирование обобщенных функций.
- •8. Носители обобщенных функций.
- •9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
- •11. Композиция эволюционных операторов
- •12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
- •13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
- •14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.
9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
Пусть – пр-во финитных слева бесконечно дифференцируемых функции на числовой оси. Зафиксируем натуральное число и рассмотрим – -cтепень пр-ва .
Обозначим через тензорную степень мультииндекса вектор-функций :
Пусть и – натуральные числа, – пр-во всех обобщенных –мерных вектор-функций на пр-ве с носителем на .
Пусть – оператор сокращения переменных степени :
, где – -мерная вектор-функция на пр-ве .
Опр. Эволюционным оператором кратности наз. оператор , действующий по формуле
где суммирование ведется по мультииндексам не равным нулю, , - -мерная свертка.
Опр. Эволюционный оператор кратности (1, 1) наз. оператором Вольтерра-Винера.
Опр. Обобщенную вектор-функцию наз. импульсной характеристикой мультииндекса эволюц. оператора .
Опр. Семейство – семейством импульсных характеристик оператора .
Опр. Оператор , определяемый рав-вом
наз. –й компонентой оператора .
Опр. Если , то наз. однородным эволюционным оператором степени .
Опр. – мн-во эволюционных операторов степени .
Св-ва оператора :
1) Линейность и непрерывность относительно -й тензорной степени: отображение линейно и непрерывно.
2) Сохранение нуля:
3) Однородность степени : для и имеет место рав-во ,
где ,
4) Причинность: если , то
Опр. Для любого фиксированного нат. числа определим оператор , который наз. однородной компонентой –й степени эволюционного оператора .
Опр. Оператор – наз. полиномиальной компонентой степени оператора .
Опр. Полиномиальные операторы степени 1 наз. линейными эволюционными операторами. Они имеют след. вид: ,
Примером линейного эволюц. оператора кратности (2,1) явл. оператор суммирования : положим ( - ф-ция Дирака), тогда
Оператор умножения явл. уже однородным эволюц. оператором степени 2 кратности (2,1): положим и , тогда
10. Тензорное произведение эволюционных операторов. Рассмотрим вначале тензорное произведение реакций двух эволюц операторов: Пусть А и В – эволюц операторы кратностей и соотв-нно: И пусть -реакций операторов А и В соотв-нно на входные воздействия . Рассмотрим тензорное произ-ние . В силу билинейности и непрерывности тензорного произведения имеем: где -оператор сокращения переменных, действие которого на произвольную ф-цию f, имеющей независимых переменных, определяется формулой
Лемма1:Пусть a и b- финитные слева обобщённые вектор-функции n и m переменных соответственно, w и z- финитные слева скалярные обобщённые функции n и m переменных соответственно.Тогда сараведливо следующее равенство: (a*w) (2).
Применяя равенство (2) к соотношению (1),получаем =
Полагая же в равенстве (3) y=x, имеем: = Теорема (о тензорном произведении реакций двух эволюционных операторов): пусть А и В – эволюционные операторы: Тогда справедлива формула: (4)
_______________________________
Опр: Композицией мультииндекса будем наз-ть такой конечный набор мультииндексов , где , таких, что для любого выполняется рав-во т.е. . Мультииндексы наз-ся частями композиции . Множество всех композиций мультииндекса с m частями будем обозначать .