- •Глава I. Векторная алгебра.
- •§1. Векторы в пространстве. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •I. Сложение векторов.
- •I I. Умножение вектора на число.
- •§3. Проекция вектора на ось.
- •§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •§5. Базис. Координаты. Размерность.
- •§6. Скалярное произведение.
- •§7. Скалярное произведение в координатной форме.
- •§8. Направляющие косинусы вектора.
- •§9. Ориентация базиса в пространстве.
- •§10. Векторное произведение.
- •§11. Смешанное произведение трех векторов.
- •Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •§1. Декартова система координат.
- •§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •§2. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§3. Прямая на плоскости.
- •§4. Специальные виды уравнения прямой.
- •§5. Основные задачи, связанные с прямой.
- •§6. Алгебраические линии на плоскости.
- •§7. Окружность.
- •§8. Эллипс.
- •§9. Гипербола.
- •§10. Парабола.
- •§11. Кривые второго порядка – заключение.
- •§12. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •§13. Плоскость в пространстве.
- •§14. Специальные случаи уравнения плоскости.
- •§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.
- •§16. Прямая в пространстве.
- •§17. Основные задачи.
- •§18. Поверхности в пространстве.
- •§19. Поверхность вращения.
- •§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
- •§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
- •§22. Эллипсоид.
- •§23. Гиперболоиды и конус.
- •§24. Параболоиды.
§1. Декартова система координат.
Определение 1. Три взаимно перпендикулярные числовые оси, имеющие общее начало отсчета и одинаковые масштабы, называются декартовой системой координат данного пространства.
Координатные оси обычно обозначают буквами x, y и z или символами OX, OY и OZ . Любая
точка М пространства находится во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных троек действительных чисел – координатами своих ортогональных проекций
на осях х, у и z, называемых координатами самой точки М: М(Мх,Му,Мz).
В качестве базиса векторного пространства выбираются орты i, j и k, сонаправленные координатным осям x, y и z соответственно (рис.12). Рассмотрим вектор .
Вектор с началом в точке О и концом в точке М называется радиус −вектором точки М.
Пусть его координаты в данном базисе равны rx,ry и rz , т.е.
z Из определения суммы векторов (§2) сразу следует, что
вектор . В свою очередь, каждое
Mz из слагаемых правой части равно проекции вектора r на
М координатную ось (§3), умноженную на соответствующий
k r базисный орт: и
О j My y . В силу единственности разложения
i вектора по базису (§4, Т1) имеем следующий результат:
Мх
x рис.1
В декартовой системе координат координаты вектора в ортонормированном базисе равны
его проекциям на координатные оси.
§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора по координатам точек А и В, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.
1. Вычисление координат вектора .
В Пусть − произвольный вектор пространства (рис.2). Точки А'
М и В' с координатами Ах и Вх − проекции точек А и В на ось ОХ.
А Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).
Следовательно, его первая координата равна Вх − Ах (гл.I ,§3,св.3).
А' М' В' ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатных
Рис.2 осей. Таким образом: .
2. Вычисление длины отрезка.
Так как длина отрезка АВ (|AB|) равна , то |AB| =
(гл.1, §7).
Деление отрезка в данном отношении.
Рассмотрим т. (рис.2). Требуется определить число , где АМ и МВ − величины направленных отрезков , называемое отношением, в котором т. М делит
направленный отрезок . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем: . Отсюда легко получаем координаты точки М:
.
Замечания.
Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:
Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащих
на одной прямой. В случае, когда т. величина λ будет отрицательной.