§12. Аналитическая геометрия в пространстве.

Поверхности в пространстве задаются либо уравнением с тремя переменными:

либо в параметрической форме:

Линии в пространстве задаются пересечением двух поверхностей, или параметрически:

т.е.

При решении задач в пространстве особенно важно знать геометрический смысл параметров, входящих в уравнения.

§13. Плоскость в пространстве.

Определение. Плоскостью называется геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и ортогональных данному ненулевому вектору, называемому нормальным вектором плоскости.

Для вывода уравнения плоскости Р зафиксируем т. и нормальный вектор

(рис.8).Тогда . Отсюда получаем:

− уравнение плоскости, проходящей через

т. и ортогональной вектору .

Если раскрыть скобки и обозначить , то получим общее уравнение плоскости:

Замечание. И в общем уравнение плоскости коэффициенты А, В и С являются координатами

вектора нормали.

§14. Специальные случаи уравнения плоскости.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть тт. Необходимым и достаточным условием принадлежности т. М той же плоскости является компланарность векторов В свою очередь, условие компланарности (гл.I,§11,св.2) приводит к следующему уравнению:

2. Уравнение плоскости в отрезках.

Возьмем в качестве предыдущих точек точки пересечения с осями координат:

z

c Уравнение плоскости примет вид:

• М₀

b y

a

х рис.8

§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.

1. Условия параллельности, перпендикулярности, угол между плоскостями.

Даны две плоскости:

Все перечисленные условия следуют из геометрического смысла коэффициентов (§13).

2. Расстояние от точки до плоскости.

Вычисляется так же, как в случае прямой на плоскости (§5). Пусть произвольная точка пространства. Расстояние от точки до плоскости равно модулю проекции

После простых преобразований получим

(#) III. Связка и пучок плоскостей.

Определение1. Множество плоскостей, проходящих через единственную общую точку М₀ , называется связкой плоскостей с центром в т. М₀ ( Обозначение − S(M₀)).

Рассмотрим три плоскости, принадлежащие S(M₀):

……………………..(*)

Теорема. Уравнение описывает связку плоскостей с центром в данной точке.

{Нужно доказать 2 утверждения: 1) 2) .

1. Так как все слагаемые Q равны нулю в т. М₀ , то и Q = 0 в этой точке.

2. Так как СЛАУ (*) имеет единственное решение (x₀,y₀,z₀), то из правила Крамера следует,

что определитель системы отличен от нуля, т.е. векторы линейно независимы и

. Значение D = D^* , т.к. все плоскости проходят через т. М₀ }

Определение2. . Множество плоскостей, проходящих через общую прямую – ось плоскостей,

называется пучком плоскостей.

Теорема. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, при условии