- •Глава I. Векторная алгебра.
- •§1. Векторы в пространстве. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •I. Сложение векторов.
- •I I. Умножение вектора на число.
- •§3. Проекция вектора на ось.
- •§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •§5. Базис. Координаты. Размерность.
- •§6. Скалярное произведение.
- •§7. Скалярное произведение в координатной форме.
- •§8. Направляющие косинусы вектора.
- •§9. Ориентация базиса в пространстве.
- •§10. Векторное произведение.
- •§11. Смешанное произведение трех векторов.
- •Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •§1. Декартова система координат.
- •§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •§2. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§3. Прямая на плоскости.
- •§4. Специальные виды уравнения прямой.
- •§5. Основные задачи, связанные с прямой.
- •§6. Алгебраические линии на плоскости.
- •§7. Окружность.
- •§8. Эллипс.
- •§9. Гипербола.
- •§10. Парабола.
- •§11. Кривые второго порядка – заключение.
- •§12. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •§13. Плоскость в пространстве.
- •§14. Специальные случаи уравнения плоскости.
- •§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.
- •§16. Прямая в пространстве.
- •§17. Основные задачи.
- •§18. Поверхности в пространстве.
- •§19. Поверхность вращения.
- •§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
- •§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
- •§22. Эллипсоид.
- •§23. Гиперболоиды и конус.
- •§24. Параболоиды.
§16. Прямая в пространстве.
Наиболее простым заданием прямой в пространстве является ее задание, как линии пересечения двух плоскостей: .
(Естественно предполагать, что плоскости не совпадают и не параллельны)
Однако, такое задание имеет большой недостаток: оно не содержит в явном виде ни одной геометрической характеристики прямой. Удобнее пользоваться каноническим уравнением прямой, в котором она определяется как геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и коллинеарных данному ненулевому вектору − направляющему вектору прямой.
Если обозначить любую фиксированную точку прямой через М0 , а направляющий вектор , то для произвольной точки прямой М получим соотношение:
− каноническое уравнение прямой в пространстве. (См. §4,п.III)
Замечание. На самом деле, каноническое уравнение представляет собой систему двух линейных уравнений с тремя переменными, т.е. линию пересечения двух плоскостей. Но, во – первых, это
особые плоскости (параллельные координатным осям) и, во – вторых, в записи системы геометрические характеристики прямой фигурируют в явном виде.
Пример. Перейти к каноническому заданию:
{Положим z = 0. Тогда x =2, y = − 1; . Отсюда: }
От канонического уравнения легко перейти к параметрическому заданию. Приравняем полученную пропорцию к новой переменной и выразим через нее переменные x, y и z:
Пример. Найти точку пересечения прямой с плоскостью x – y +2z – 11 = 0.
{x = 1 + 2t, y = −3t, z = −2 + t → 7t − 14 = 0 → t = 2 → (5, −6, 0) }
Уравнение прямой через две точки можно написать, взяв в качестве направляющего вектора вектор :
(#) В некоторых задачах удобно пользоваться векторным представлением прямой. В этом случае прямая задается радиус – вектором (§1) текущей точки прямой.
(рис.9)
Здесь :
M r0 − радиус – вектор т. М0
M0 l = (p, q, r) − направляющий вектор прямой.
рис.9
§17. Основные задачи.
Две задачи, связанные с прямой были уже рассмотрены на примерах в предыдущем параграфе.
Задачи, связанные с вычислением углов между прямыми, прямой и плоскостью, включая условия ортогональности и параллельности, решаются с использованием направляющих векторов прямых и нормальных векторов плоскостей. Так, например, синус угла между прямой и плоскостью будет равен модулю косинусу угла между соответствующими направляющим и нормальным векторами:
Условия ортогональности и параллельности прямой и плоскости записываются следующим образом:
Рассмотрим две прямые с направляющими векторами и проходящие через точки М1 и М2 соответственно. Прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. В двух первых случаях смешанное произведение Если же прямые скрещиваются, то
Оба условия являются необходимыми и достаточными. Так как расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат, то оно может быть найдено по формуле − объем параллелепипеда
деленный на площадь основания.
Пример. Как расположены прямые и ?
Если они пересекаются – найти общую точку. Если нет – расстояние между ними.
{ прямые скрещиваются.
}