§10. Векторное произведение.
Определение.
Векторным произведением векторов
a и b
: [a,b]
называется вектор,
удовлетворяющий трем условиям:
Векторное произведение ортогонально своим составляющим:
Длина векторного произведения равна произведению длин векторов на синус угла между ними:
Тройка векторов
− правая.
Свойства векторного произведения.
Все свойства векторного произведения можно условно разбить на две группы.
Алгебраические свойства.
Антикоммутативность:
.{
Первые два условия определения не
зависят
от порядка векторов, но тройки a,
b,
и b, a,
ориентированы противоположно (§9)}
2)
{Доказать самим}
3)
{б/д}
II. Геометрические свойства.
1)
− равенство нулю векторного произведения
является необходимым и достаточным
условием коллинеарности. { Доказать
самим }
2)
− площадь параллелограмма, построенного
на двух векторах равна модулю векторного
произведения этих векторов. {Очевидно}
Для вывода координатной формы
векторного произведения поступим так
же, как и в случае скалярного:
.
Здесь уже использованы соотношения:
и т.д.
Легко заметить, что формула векторного
произведения может быть записана в виде
символического определителя:
.
Пример. Вычислить S∆ABC , если даны тт. А(1,2,0), В(3,0,−3), С(5,2,6).
{
}
§11. Смешанное произведение трех векторов.
Определение. Смешанным произведением
векторов a,b
и c называется
число, равное
Свойства смешанного произведения.
1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах:
{
Так как
то модуль проекции с на него равен h }
(Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное
произведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}
3.
(В
правой части равенства сначала,
естественно, выполняется векторное
произведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}
Из последнего свойства следует, что
знаки
можно ставить в любом порядке. Поэтому
смешанное произведение обозначают символом abc.
Для записи смешанного произведения
в координатах лучше всего использовать
форму
Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а , то при разложении определителя
по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем
следующую формулу:
Пример. Исследовать векторы a = (3,1,−2), b = (2,−1,4) и c = (7,−1,6) на линейную зависимость.
{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,
вычислим их смешанное произведение:
векторы линейно зависимы}
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.