- •Глава I. Векторная алгебра.
- •§1. Векторы в пространстве. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •I. Сложение векторов.
- •I I. Умножение вектора на число.
- •§3. Проекция вектора на ось.
- •§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •§5. Базис. Координаты. Размерность.
- •§6. Скалярное произведение.
- •§7. Скалярное произведение в координатной форме.
- •§8. Направляющие косинусы вектора.
- •§9. Ориентация базиса в пространстве.
- •§10. Векторное произведение.
- •§11. Смешанное произведение трех векторов.
- •Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •§1. Декартова система координат.
- •§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •§2. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§3. Прямая на плоскости.
- •§4. Специальные виды уравнения прямой.
- •§5. Основные задачи, связанные с прямой.
- •§6. Алгебраические линии на плоскости.
- •§7. Окружность.
- •§8. Эллипс.
- •§9. Гипербола.
- •§10. Парабола.
- •§11. Кривые второго порядка – заключение.
- •§12. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •§13. Плоскость в пространстве.
- •§14. Специальные случаи уравнения плоскости.
- •§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.
- •§16. Прямая в пространстве.
- •§17. Основные задачи.
- •§18. Поверхности в пространстве.
- •§19. Поверхность вращения.
- •§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
- •§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
- •§22. Эллипсоид.
- •§23. Гиперболоиды и конус.
- •§24. Параболоиды.
I I. Умножение вектора на число.
Произведением вектора а на число называется вектор, a
длина которого равна , сонаправленный вектору а при λ > 0 -0.7a
и противоположно направленный при λ < 0. рис.4
Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:
Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор c = a − b, который при сложении с вектором b дает вектор a : b + c = a (рис.5).
Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместив
b a−b начала векторов a и b в общую точку.
Очевидно следующее равенство: a + (−1)a = a − a = 0.
a (Строгое доказательство предоставляется читателям)
рис.5
Замечание. Ноль в правой части последнего равенства есть нулевой вектор, а не число.
Равенство (−1)b = −b дает еще один способ построения разности векторов: а−b = a+(−b). Т.е. при вычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное и построить сумму полученных векторов.
Свойства линейных операций.
Переместительное свойство сложения (коммутативность).
a + b = b + a. {рис.6}
Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).
(a + b) + c = a + (b + c). {рис.7}
3. Дистрибутивность умножения
а) (λ+μ)а = λа + μа. {Очевидно}
б) λ(a+b) = λa + λb. {Следует из подобия (рис.8)}
4. λ(μа) = (λμ)а . {Очевидно }
c
b b
a+b = b+a b+c λb λ(a+b)
a+b b
a (a+b)+c=a+(b+c) a+b
a a λa
рис.6 рис.7 рис.8
§3. Проекция вектора на ось.
Определение 1. Осью называется прямая, на которой задано положительное направление.
Числовой осью называют ось, на которой заданы начало отсчета и масштаб (единичный отрезок).
Все точки числовой оси находятся во взаимно – однозначном соответствии с множеством действительных чисел. Началу отсчета, естественно, ставится в соответствие число 0.
Соответствующие точкам числа являются координатами точек относительно этой числовой оси.
Рассматривая некоторую ось u (не числовую), будем предполагать (по умолчанию) наличие единого масштаба во всем пространстве, содержащем эту ось.
Определение 2. Величиной отрезка [АВ] (обозначается АВ) называется число, равное длине этого отрезка и взятое со знаком «+», если направлен по оси и со знаком «−», если − против, т.е. .
А' В' и
рис.9
Основные свойства величин отрезков (будем считать, что тт. А, В и С лежат на оси и ):
АВ = −ВА {Очевидно}
{При расположении точек в указанном порядке по направлению оси − равенство очевидно.
Пусть точки расположены иначе, например: В, С, А → ВА = ВС + СА →
−АВ = ВС −АС → АС = АВ + ВС. Остальные случаи доказываются аналогично}
Пусть и – числовая ось, а Аи и Ви − координаты точек А и В на этой оси. Тогда
АВ = Ви − Аи . {Очевидно}
Рассмотрим теперь произвольный вектор и ось u (рис.9).
Определение 3. Ортогональной проекцией вектора на ось и называется величина отрезка А'В', где А' и В' − ортогональные проекции точек А и В на эту ось (рис.9).
При = А'В' .
Из определения сразу следует, что проекция вектора на ось есть число.
Если начало вектора поместить на ось и угол между вектором и осью обозначить через φ, то для вычисления проекции имеем очевидное соотношение: При = При этом необходимо учитывать, что угол φ отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Если еи − орт, сонаправленный оси и, то в частном случае .
Замечание. Можно рассматривать и не ортогональные проекции вектора на ось. Для этого следует провести из концов вектора параллельные прямые, не перпендикулярные оси до пересечения с ней. Все основные свойства ортогональных проекций будут выполняться. Однако, в дальнейшем, по умолчанию, все проекции мы будем считать ортогональными.
Линейные свойства проекций.
I. Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:
{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ > 0 и λ < 0}
II. Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:
{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}
Определение 3. Линейной комбинацией векторов а1,…,ап называется сумма следующего вида: , где все коэффициенты линейной комбинации.
(В общем случае, аi − элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)
Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.