АнГем
.pdfРейтинговая система контроля освоения дисциплины
|
Неделя |
Оценка в баллах |
|
|
проведения |
Максимальная |
Минимальная |
ДЗ №1 |
8 |
10 |
7 |
|
|
|
|
РК №1 |
9 |
25 |
15 |
|
|
|
|
Модуль 1 |
10 |
35 |
22 |
ДЗ №2 |
13 |
10 |
7 |
|
|
|
|
РК №2 |
16 |
25 |
15 |
|
|
|
|
Модуль 2 |
17 |
35 |
22 |
Итоговый |
сессия |
30 |
16 |
контроль |
|
|
|
Модуль 3 |
сессия |
30 |
16 |
Итоговый |
|
100 |
60 |
рейтинг |
|
|
|
Контрольные мероприятиям и сроки их проведения
Модуль 1 Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
Контроль по модулю №1 «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» (1 теоретический вопрос и 3 задачи)
Срок проведения – 9 неделя
Модуль 2 «Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»
Контроль по модулю №2 «Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»
(1 теоретический вопрос и 3 задачи) Срок проведения – 16 неделя
Типовые варианты заданий
Домашнее задание №1 «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»
Дано: точки A(0;3;2) , B(−1;4;2) , D(0;1;2) , |
A (1;2;0) ; числа a =30 , |
b = −1 ; угол ϕ = |
7π |
. |
||||||||||||||
Задание: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Найти длину вектора |
| |
m |
+n | , если |
m |
= p +aq , |
n =bp +q |
и p , q |
— |
единичные |
||||||||
векторы, угол между которыми равен ϕ. |
|
|
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Найти координаты точки М, делящей вектор |
в отношении a :1. |
|
|
|
|
||||||||||||
AB |
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
Проверить, можно ли на векторах |
JJG |
|
JJG |
построить параллелограмм. Если да, то |
|||||||||||||
AB |
и AD |
|||||||||||||||||
найти длины сторон параллелограмма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
Найти площадь параллелограмма ABCD. |
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
JJG |
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Убедиться, что на векторах AB , |
AD , |
|
AA1 |
можно построить параллелепипед. Найти |
|||||||||||||
объем этого параллелепипеда и длину его высоты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Найти |
координаты |
вектора |
JJG |
|
направленного по высоте |
параллелепипеда |
|||||||||||
AH , |
|
|||||||||||||||||
ABCDA1B1C1D1 , проведенной из точки A |
|
к плоскости основания A1B1C1D1 , |
координаты |
|||||||||||||||
точки |
H и координаты единичного вектора, |
совпадающего по направлению с вектором |
||||||||||||||||
JJJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AH . |
|
|
|
JJJG |
|
|
|
JJG |
|
JJG |
JJG |
|
|
|
|
|
||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти разложение вектора AH по векторам |
AB |
, AD , |
AA . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
JJJG |
|
|
JJG |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
9. |
Найти проекцию вектора AH на вектор |
AA1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. Написать уравнения плоскостей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
P, проходящей через точки A, B, D; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
P1, |
проходящей через точку A и прямую A1B1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в) |
P2, проходящей через точку A1 |
параллельно плоскости P; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
г) |
P3 , содержащей прямые AD и AA1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
д) |
P4 , проходящей через точки A и C1 , перпендикулярно плоскости P. |
|
|
|
|||||||||||||
11.Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB и CC1; написать канонические и параметрические уравнения общего к ним перпендикуляра.
12.Найти точку A2 , симметричную точке A1 относительно плоскости основания ABCD.
13.Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ A1C и плоскостью основания
ABCD.
14.Найти острый угол между плоскостями ABC1D (плоскость P) и ABB1A1 (плоскость
P1).
Домашнее задание №2 «Кривые и поверхности второго порядка»
Взадачах 1–2 заданное уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду и построить кривую в системе координат OXY.
Взадаче 3 по приведенным данным найти уравнение кривой в системе координат OXY. Для задач 1–3 указать:
1)канонический вид уравнения линии;
2)преобразование параллельного переноса, приводящее к каноническому виду;
3)в случае эллипса: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов; в случае гиперболы: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов, уравнения асимптот; в случае параболы: параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояния от точки C до фокуса
и директрисы;
4)для точки C проверить свойство, характеризующее данный тип кривых как геометрическое место точек.
Взадаче 4 указать преобразование параллельного переноса, приводящее данное уравнение поверхности к каноническому виду, канонический вид уравнения поверхности и тип поверхности. Построить поверхность в канонической системе координат OXYZ.
1) |
5x2 + y2 +20x −2 y = 4 , C(0;1 − 5) ; |
2) 5x2 −4 y2 +20x −8y =64 , C(12;14) . |
||||
3) |
Парабола симметрична относительно прямой y +1 =0 , имеет фокус F (− |
3 |
; −1), |
|||
8 |
||||||
пересекает ось OX в точке C (− |
3 |
; 0), а ее ветви лежат в полуплоскости x ≥0 . |
||||
5 |
||||||
4) |
4 y2 − z2 −8y −4z −1 =0 . |
|
|
|
||
Контроль по модулю №1
Билет №
1.Определение скалярного произведения. Вычисление скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. Критерий ортогональности двух векторов. Вывести формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.
2.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2m −n , b = m +4n ,
|
если | |
m |
|=3, |
| n |= 2 , ( |
m |
, n )= |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
JJG |
JJJG |
|
|
|||||||
3. |
Могут ли |
векторы |
JJG |
|
задавать |
||||||||
AB ={−2;3;0}, |
BC ={−2;0;1}, |
CD ={0;3;6} |
|||||||||||
|
невырожденную треугольную пирамиду, совпадая с ее ребрами? Если могут, то |
||||||||||||
|
найти длину высоты этой пирамиды, |
опущенной из вершины D на основание |
ABC . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJG |
JJG |
|
Если не могут, то найти единичный вектор, перпендикулярный векторам AB и |
AC . |
|||||||||||
4. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей через |
точку |
M (−3; −2;1) |
|||||||
перпендикулярно прямой
4x −3y +2z −5 =0,
3x +2 y − z +3 =0.
Контроль по модулю №2
Билет №
1.Определение обратной матрицы. Доказать теорему о единственности обратной матрицы. Доказать теорему об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.
2. |
Привести уравнение поверхности |
x2 +4 y2 + z2 +8x −8y +16 =0 к каноническому |
|||
|
виду. Сделать чертеж. Указать название данной поверхности. |
||||
3. |
Вычислить определитель матрицы B . Найти обратную матрицу к B . |
||||
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
−2 |
3 |
1 |
|
|
B = |
. |
|||
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||
4. Найти общее решение системы линейных алгебраических уравнений:
|
−x |
+5x −5x = 2, |
||||
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5. |
x1 |
+ x2 −4x3 +2x4 = −1, |
||||
−4x −2x +6x +2x =0, |
||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4x |
+ x |
− x |
−7x |
= 2. |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Вопросы для подготовки к контролям по модулю и экзамену
Модуль 1 Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
1.Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства.
2.Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х геометрических векторов.
3.Определение базиса в пространствах векторов V1 , V2 , V3 . Доказательство теоремы о
существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе.
4.Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе.
5.Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.
6.Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения. Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.
7.Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Критерий компланарности трех векторов. Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе.
8.Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии.
9.Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой.
10.Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
11.Доказать, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Определение нормального вектора прямой.
12.Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями.
13.Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой. Вывод формулы расстояния от точки до прямой.
14.Доказать, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнения первой степени и только они задают плоскость. Общее уравнение плоскости. Определение нормального вектора плоскости. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости “в отрезках”.
15.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей.
16.Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.
17.Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.
18.Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости.
19.Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.
20.Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми.
Модуль 2 Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
21.Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.
22.Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.
23.Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.
24.Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2-го порядка.
25.Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.
26.Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.
27.Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.
28.Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.
29.Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.
30.Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.
31.Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.
32.Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с обратной матрицей.
33.Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.
34.Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Доказательство критерия линейной зависимости строк (столбцов).
35.Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без док-ва). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.
36.Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.
37.Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.
38.Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.
39.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи
СЛАУ. Cовместные и несовместные СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера—Капели совместности СЛАУ.
40.Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Свойства их решений.
41.Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Построение ФСР.
42.Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.
Рейтинговые оценки за выполнение отдельных позиций заданий контрольного мероприятия
Модуль 1
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
ДЗ №1 |
14 задач |
0; 1; 2 |
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
|
|
Набранные баллы |
Оценка |
Рейтинг |
0-21 |
2 (неуд.) |
0 |
22-24 |
3 (удовл.) |
7 |
25-27 |
4 (хор.) |
8 |
28 |
5 (отл.) |
10 |
|
|
|
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
Контроль по модулю №1 |
1 теория и 3 задачи |
0; 1; 2 |
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
|
|
Набранные баллы |
Оценка |
Рейтинг |
0-4 |
2 (неуд.) |
0 |
5-6* |
3 (удовл.) |
15 |
7 |
4 (хор.) |
20 |
8 |
5 (отл.) |
25 |
*Не менее одного балла за теорию |
|
|
Модуль 2 |
|
|
|
|
|
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
ДЗ №2 |
4 задачи |
0; 1; 2 |
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
|
|
Набранные баллы |
Оценка |
Рейтинг |
0-5 |
2 (неуд.) |
0 |
6 |
3 (удовл.) |
7 |
7 |
4 (хор.) |
8 |
8 |
5 (отл.) |
10 |
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
Контроль по модулю №2 |
1 теория и 3 задачи |
0; 1; 2 |
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
|
|
Набранные баллы |
Оценка |
Рейтинг |
0-4 |
2 (неуд.) |
0 |
5-6* |
3 (удовл.) |
15 |
7 |
4 (хор.) |
20 |
8 |
5 (отл.) |
25 |
*Не менее одного балла за теорию