- •Глава I. Векторная алгебра.
- •§1. Векторы в пространстве. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •I. Сложение векторов.
- •I I. Умножение вектора на число.
- •§3. Проекция вектора на ось.
- •§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •§5. Базис. Координаты. Размерность.
- •§6. Скалярное произведение.
- •§7. Скалярное произведение в координатной форме.
- •§8. Направляющие косинусы вектора.
- •§9. Ориентация базиса в пространстве.
- •§10. Векторное произведение.
- •§11. Смешанное произведение трех векторов.
- •Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •§1. Декартова система координат.
- •§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •§2. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§3. Прямая на плоскости.
- •§4. Специальные виды уравнения прямой.
- •§5. Основные задачи, связанные с прямой.
- •§6. Алгебраические линии на плоскости.
- •§7. Окружность.
- •§8. Эллипс.
- •§9. Гипербола.
- •§10. Парабола.
- •§11. Кривые второго порядка – заключение.
- •§12. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •§13. Плоскость в пространстве.
- •§14. Специальные случаи уравнения плоскости.
- •§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.
- •§16. Прямая в пространстве.
- •§17. Основные задачи.
- •§18. Поверхности в пространстве.
- •§19. Поверхность вращения.
- •§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
- •§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
- •§22. Эллипсоид.
- •§23. Гиперболоиды и конус.
- •§24. Параболоиды.
§18. Поверхности в пространстве.
Общая постановка задач в пространстве была дана в §12. Рассмотрим сейчас несколько специальных задач.
Цилиндрические поверхности.
Рассмотрим уравнение с двумя переменными в пространстве : F(x,y) = 0. На плоскости XOY
оно описывает некоторую кривую. В пространстве каждой точке (x*,y*) этой кривой будет соответствовать прямая , т.е. прямая, проходящая через точку (x*,y*,0) и параллельная оси OZ. Поверхность, образованная множеством всех таких прямых, называется цилиндром с направляющей F(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ.
Аналогично рассматриваются цилиндры, образующие которых параллельны другим координатным осям: F(x, z) = 0 и F(y, z) = 0.
Замечание. Естественно, существуют наклонные цилиндры, в уравнения которых входят все переменные в явном виде. Однако, должен существовать такой поворот системы координат, после которого одна из переменных будет отсутствовать в записи уравнения.
Примеры. 1) − прямой круговой цилиндр радиуса r и осью OZ.
2) − эллиптический цилиндр с образующей, параллельной оси OY.
3) у2 = 8z − параболический цилиндр с образующей, параллельной оси OХ.
§19. Поверхность вращения.
В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей. Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскости YOZ и ось вращения ОZ . Зафиксируем произвольное значение z* и выразим из уравнения F(y, z*) = 0 соответствующее значение у = f(z*). При вращении, в плоскости z = z* получится окружность
x2 + y2 = f 2(z*). Уравнение самой поверхности вращения будет иметь вид x2 + y2 = f 2(z) (рис.10).
Необходимо отметить, что аналитическое решение уравнения
z F(y, z*) = 0 относительно у совсем не обязательно, тем более,
F(y, z) = 0 что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.
Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случае
записывается следующим образом:
y
x
рис.10
Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси: Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменой второй переменной в уравнении кривой на квадратный корень из суммы квадратов этой и отсутствующей переменных (в рассмотренном случае ).
Пример. Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривой у2 = 6х вокруг осей ОХ и OY. {
}
Замечание. Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют только
в связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокруг координатной оси третьей переменной.