§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Система векторов {a₁,…,a_n} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 2. Система векторов {a₁,…,a_n} называется линейно независимой, если ее линейная

комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами: .

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а₁,…,a_n – линейно зависимы когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {a_k} – л.з. ): Пусть, для определенности,

, т.е. а₁ − линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): система лин. зав.}

Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{0a₁ + … + 0a_n-1 + }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }

Примеры.

1) . 2) они компланарны.

Отсюда следует, что три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.

3) Четыре вектора в пространстве всегда линейно зависимы.

4) {f₁ = 1, f₂ = x, f₃ = x² } – линейно независимы.

5) {sin²x, cos²x, 1} − линейно зависимы.

§5. Базис. Координаты. Размерность.

Определение 1. Базисом векторного пространства L называется система элементов ,

удовлетворяющая двум условиям:

1) система {e₁,…,e_n} линейно независима.

2) Любой вектор L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов е₁, е₂, … , е_n): .

Примеры. Базис на плоскости (V₂ – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V₃ – 3 некомпланарных вектора), в пространстве многочленов степени ≤ n : (1,х,х²,…,хⁿ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами вектора в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису: а = ( ) или .

Замечания. 1. В силу Т.1 данное определение – корректно.

2. В качестве стандарта можно рассматривать как векторы – строки , так и векторы – столбцы.

3. Координаты базисных векторов е₁,е₂,е₃ (в пространстве) в собственном базисе равны:

е₁ = (1,0,0), е₂ = (0,1,0), е₃ = (0,0,1).

Определение 3. Размерностью векторного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 2. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Примеры. V₂ ; V₃ ; Rⁿ; C[a,b].

Результаты линейных операций легко вычисляются в координатной форме.

Теорема 3. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

.

{ }

Теорема 4. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

λа = (λα₁,…,λα_n). {д – во аналогично}

В заключение рассмотрим пример базиса, который используется наиболее часто.

Определение 4. Ортонормированным базисом в пространстве называется базис, состоящий из трех взаимно ортогональных векторов единичной длины (на плоскости – из двух).

Эти векторы обозначают буквами i, j и k и называют

базисными ортами. Таким образом, выполняются соотношения

а a₃k , а произвольный вектор а

k a₂ j может быть представлен в следующем виде (рис.10):

j a = a₁ i + a₂ j + a₃ k = ( a₁, a₂, a₃ ).

a₁i i

рис.10