- •Глава I. Векторная алгебра.
- •§1. Векторы в пространстве. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •I. Сложение векторов.
- •I I. Умножение вектора на число.
- •§3. Проекция вектора на ось.
- •§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •§5. Базис. Координаты. Размерность.
- •§6. Скалярное произведение.
- •§7. Скалярное произведение в координатной форме.
- •§8. Направляющие косинусы вектора.
- •§9. Ориентация базиса в пространстве.
- •§10. Векторное произведение.
- •§11. Смешанное произведение трех векторов.
- •Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •§1. Декартова система координат.
- •§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •§2. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§3. Прямая на плоскости.
- •§4. Специальные виды уравнения прямой.
- •§5. Основные задачи, связанные с прямой.
- •§6. Алгебраические линии на плоскости.
- •§7. Окружность.
- •§8. Эллипс.
- •§9. Гипербола.
- •§10. Парабола.
- •§11. Кривые второго порядка – заключение.
- •§12. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •§13. Плоскость в пространстве.
- •§14. Специальные случаи уравнения плоскости.
- •§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.
- •§16. Прямая в пространстве.
- •§17. Основные задачи.
- •§18. Поверхности в пространстве.
- •§19. Поверхность вращения.
- •§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
- •§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
- •§22. Эллипсоид.
- •§23. Гиперболоиды и конус.
- •§24. Параболоиды.
§23. Гиперболоиды и конус.
Гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением , где коэффициенты А, В и С − числа разных знаков, а L – отлично от нуля. Для определенности будем считать, что А и В больше нуля, а
С – меньше нуля: A > 0, B > 0, C < 0. В зависимости от знака L имеем два типа гиперболоидов.
I. L < 0. После стандартных преобразований (§22) получим уравнение: .
Снова воспользуемся методом сечений.
Плоскости z = h поверхность пересекает по эллипсам .
С увеличением h ( или z) полуоси эллипса увеличиваются. Минимальные полуоси будут при
h = 0 , т.е. в плоскости ХОY.
В плоскостях x = h (или y = h ) получаются гиперболы . (рис.12а)
При h < a или h > a (для y − h < b или h > b ) гиперболы ориентированы противоположно.
При h = a (h = b) сечениями являются прямые. Это свидетельствует о наличии у однополосного гиперболоида прямолинейных образующих.
При a = b имеем гиперболоид вращения.
Поверхность, описываемая уравнением называется однополосный гиперболоид.
Пример. Доказать, что т. (5,4,2) принадлежит гиперболоиду и найти прямолинейные образующие, проходящие через эту точку. {1)1+1−1=1;2) l:x=pt+5,y=qt+4,z=rt+2
Подставим в уравнение: приравняем коэффициенты нулю и положим r = 1 и вторая образующая
}
II. L > 0. В этом случае уравнение будет иметь вид: .
При z = h имеем , откуда сразу следует ограничение на h и, тем самым, на величину z: . В сечениях, как и в предыдущем случае будут эллипсы. При z = ±1 эллипсы вырождаются в точки (0,0,±1).
При x = h или y = h в сечениях опять получатся гиперболы, но в отличие от однополостного гиперболоида не меняющие ориентацию в зависимости от величины h (рис.12б).
При a = b получим гиперболоид вращения.
Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.
Пусть теперь при тех же ограничениях на А, В и С L = 0. Уравнение примет вид:
Сечения плоскостями z = h опять будут эллипсами с увеличивающимися полуосями при возрастании модуля z, а в сечениях x = h или y = h − пересекающиеся прямые (рис.12в).
Такие поверхности называются коническими или конусами.
§24. Параболоиды.
Параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат
определяется уравнением , где коэффициенты А, В и K не равны нулю.
Возможны два случая: AB > 0 и AB < 0. Для определенности будем считать A > 0, K < 0.
A > 0, B > 0, K < 0. Уравнение приводится к виду .
В сечениях z = h (h > 0) получаем эллипсы , полуоси которых растут с ростом h.
В сечениях x = h и y = h − параболы и (рис.13а).
Поверхность называется эллиптическим параболоидом.
z z
х
y y
x
рис.13а рис.13б
II. A > 0, B < 0, K < 0. Уравнение имеет вид: − гиперболический параболоид.
В сечениях z = h получаются гиперболы, ориентация которых меняется при изменении знака h.
В сечениях x = h и y = h − параболы, имеющие противоположное направление ветвей (рис.13б).
Позднее, при изучении общих свойств линейных пространств, будет доказано, что никаких других поверхностей второго порядка не существует. Возможны только некоторые частные и вырожденные случаи. Любое уравнение второго порядка от трех переменных приводится к одному из рассмотренных типов.