§ 3.2. Неопределенный интеграл и его свойства

1. Определение интеграла

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Определение интеграла

Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшем мы будем этим пользоваться.

Определение. Совокупность всех первообразных F(x)+С функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫f(x)dx, где f(x)- подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х - переменная интегрирования.

Таким образом, если F(x) — какая-нибудь первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то

∫ f(x)dx=F(x) + C, где С — любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функ­ции по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит и само название «неопределенный интеграл».

Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: ∫2xdx = x²+C; ∫cosxdx =sinx+ C и т.д.

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну ее первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Слово «интеграл» происходит от латинского слова integer, что означает «восстановленный». Интегрируя какую-либо функцию, например 4х³, мы как бы восстанавливаем функцию х⁴, производная которой равна 4х³.

Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.

Например, y=∫(3x²+2)dx=x³+2x+ C. Сделаем проверку: y' = 3x² +2 или dy = (3x² + 2)dx. Следовательно, интеграл найден верно.

Найти ∫6x5dx. Решение. Требуется найти такую функцию, производная которой равна 6х5. Из дифференциального исчисления известно, что 6х5 = (x6)'; значит, ∫6х 5dх = х6 + С.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

Из рассмотренных ранее примеров видно, что можно находить интегралы, подбирая первообразные. Однако это не всегда прocто. При интегрировании помогает знание некоторых свойств интеграла, формул интегрирования, а также специальных приемов.

Рассмотрим сначала основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.

(∫f(х)dx)' = f(x).

Это свойство непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку ∫f(x)dx=F(x) + С, а (F(х) + C)' = f(x).

Так, (∫x⁵dx)' = x⁵, (∫cos2xdx)'=cos2x. На этом свойстве основано доказательство двух следующих свойств.

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

∫mf(x) dx = m ∫ f(x) dx, где m — постоянная величина, не равная нулю.

Это свойство доказывается дифференцированием обеих частей приведенного равенства. При этом учитывается свойство 1: производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Действительно, (∫mf(х)dx)' = mf(x), (m∫f(x)dx)'=m(∫f(x)dx)'=mf(x).

Например, ∫2axdx = 2a∫xdx, где а — постоянная, не равная нулю.

3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т. е.

∫(f(x)±φ(x))dx = ∫f(х)dx±∫φ(x)dx.

Для доказательства найдем производные обеих частей равенства и покажем, что они равны между собой. Сначала найдем производную левой части:

(∫(f(x)±φ(x))dx)' = f(x)±φ(x)

мы воспользовались свойством 1 неопределенного интеграла. Теперь найдем производную правой части равенства:

(∫f(х)dx±∫φ(x)dx)'=(∫f(х)dx)'±(∫φ(x)dx)'= f(х)±φ(x).

Здесь был использован тот факт, что производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, а также свойство 1 неопределенного интеграла. Итак, производные обеих частей равенства равны между собой, что и доказывает свойство 3.

1) Представить интеграл ∫(5x2 — 2x3)dx как алгебраическую сумму интегралов. Решение. ∫ (5х2 - 2х3)dx = 5∫ х 2 dх - 2∫ x3dx. 2) Представить интеграл ∫(2ex + 5)dx как алгебраическую сумму интегралов. 3) Вычислить интеграл ∫(5cosx+ 2ex)dx. Решение. ∫(5cosx +2ex)dx=5∫cosxdx + 2∫e xdx=5sinx+C1 + 2e x + С2 = 5sin х + 2еx + С.

Замечание. При интегрировании алгебраической суммы функций принято записывать только одну произвольную постоянную, так как алгебраическая сумма произвольных постоянных есть постоянная.

4. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

d∫f(x)dx = f(x)dx.

Это свойство следует из определения неопределенного интеграла. Действительно, ∫f(x)dx = F(x)+С, а d(F(x) + C) = f(x)dx.

Свойство 4 означает, что знак дифференциала аннулирует знак интеграла.

Например, d∫cos2xdx=cos2xdx, d∫3tdt = 3tdt и т.д.

5. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т. е.

∫dF(x) = F(x) + C или ∫F'(x)dx=F(x) + C.

Действительно, dF(x)= f(x)dx. Возьмем интеграл от обеих частей равенства и получим ∫ dF(x) = ∫ f(x) dx. Но, по определению, ∫f(x)dx = F(x) + C, т. e. ∫dF(x) = F(x) + C.

Например, ∫d(x³) = x³ + C, ∫d(cosx) = cosx + C и т.д. На основании этого свойства выводятся формулы интегрирования.