§ 2.3. Геометрический и механический смысл производной

1. Геометрический смысл производной

2. Механический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение про­изводной функции у = f(x) в точке х равно угловому коэффи­циенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке, т.е. k = f ^/(x) = tgφ. (1)

Таким образом, если функция у = f(x) в точке х имеет производную, то график этой функции в точке с абсциссой х имеет касательную, и, наоборот, если в некоторой точке с абсциссой х существует касательная к графику, то при этом значении х существует производная. Иначе говоря, существование касательной к кривой y = f(x) в некоторой точке с абсциссой х необходимо и достаточно для существования производной у' = f'(x) в точке х.

Геометрический смысл производной, выраженный равенством (1), дает наглядное представление о производной, позволяет проследить за ее изменением при движении точки М по кривой и дает возможность геометрически определить значение производной при данном значении х.

Пример 7. Составить уравнение касательной к параболе у = х2 – 4х в точке с абсциссой х0 = 1. Решение: Определим ординату f0 точки касания, подставив в уравнение параболы значение абсциссы х0 = 1, имеем f0 = 1 - 4·1 = -3. Для нахождения углового коэффициента касательной вычислим значение производной в точке касания: f /(x) = = 2х – 4; k = f /(1)= 2·1 – 4 = -2. Теперь подставим найденные значения в уравнение касательной у – у0 = у/(х0 ) ( х – х0 ), получаем у + 3 = -2 (х -1) , у +3 = -2х +2 или у = -2х – 1.

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т. е. .

Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением s = f(t), то для нахождения мгновенной ско­рости точки в какой-нибудь определенный момент времени нужно найти производную s' = f '(t) и подставить в нее соответствую­щее значение t. Для определенности будем считать, что путь измеряется в метрах, а время - в секундах.

Пример 8. Путь, пройденный материальной точкой, задается следующей функцией времени: s = 3t2 — 2 t + 4. Найти скорости движения точки в конце 5-й секунды. Решение: Находим производную: ; при t = 5 получим (м/с). Итак, м/с.

§ 2.4. Производные высших порядков

Производную от данной функции часто называют первой производной (или производной первого порядка). Очевидно, что производная также является функцией, и если она дифференци­руема, то от нее, в свою очередь, можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второго порядка) и обозначают у", f " (x), .

Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Ее обозначают у"′, f "′ (x), .

Например, для функции у= х⁴ имеем у′ = 4х³, у′′ = 12х², у′′′ = 24х.

Вообще, производной п-го порядка от функции у = f(x) называется производная от производной (п-1) -го порядка. Ее обозначают: у ^(п), f ^(п) (x), . Таким образом, производную п-го порядка можно найти последовательным дифференцированием данной функции.