§2.5. Дифференциал

1. Понятие дифференциала

2. Вычисление дифференциала

Нахождение дифференциала функции, так же как и нахождение производной, является одной из основных задач дифферен­циального исчисления.

Пусть точка движется прямолинейно по закону s = f(t); тогда ее скорость равна v = f '(t). За время ∆t точка пройдет некоторый путь ∆s. Если ∆t невелико, то скорость не успеет существенно измениться и движение можно считать равномерным. При этом пройденный точкой путь составит v∆t = f ′_(t) ∆t; он пропорционален истекшему времени ∆t. Произведение f ′_(t) ∆t называют дифференциалом пути и обозначают ds. Фактический путь ∆s отличается от пути ds, но если промежуток времени ∆t достаточно мал, то можно считать, что ds ≈ ∆s.

К такому же заключению можно прийти, рассматривая другие неравномерные процессы. Во всех случаях для перехода от неравномерных процессов к равномерным истинное изменение какой-либо величины заменяют ее дифференциалом. Эта замена основана на том, что на протяжении малого промежутка времени всякий процесс приближается к равномерному.

Дадим общее определение дифференциала.

Пусть дана функция y=f(x), дифференцируемая в точке х. Это значит, что функция в точке х имеет производную. Откуда получаем ∆у = у′ ∆х +α∆х.

Здесь у' есть функция от х и не зависит от ∆х; следовательно, ∆х входит в первое слагаемое в первой степени (т. е. линейно). Поэтому первое слагаемое представляет собой линейную часть приращения функции (про второе слагаемое этого сказать нельзя, поскольку α также зависит от ∆х).

Тогда при ∆х → 0 вторым слагаемым α∆х можно пренебречь, и первое слагаемое y'∆х будет являться главной частью прира­щения функции (исключая случай, когда у' = 0).

Определение. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т. е. dy = y'∆х.

Таким образом, для всякой функции y=f(x) производная у' зависит только от одной переменной х, тогда как ее дифференциал зависит от двух независимых друг от друга переменных: х и ∆х.

Рассмотрим функцию у = х. Из формулы dy = y'∆х получаем dx=∆х, так как у можно заменить на х (по условию), а у'= (x)'=1.

Итак, дифференциал независимой переменной dx совпадает с его приращением ∆х.

Учитывая это, дифференциал функции можно вычислить по формуле dy = y'dx.

Так, если у=х³, то dy=(x³)'dx= 3x²dx; если y=sinx, то dy=cosxdx.

Очевидно, чтобы вычислить дифференциал функции, нужно ее производную умножить на dx.

Отсюда следует, что правила нахождения дифференциала остаются теми же, что и для нахождения производных.

§ 2.6. Правило лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отно­шения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле: .

Таким образом, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .

Пример 9. Найти . Решение: Так как в данном случае имеется неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя: .