§ 1.2. Вычисление пределов
Теоремы о пределах
Пусть
и
, тогда
1)
2)
3)
(при условии, что В ≠ 0)
Пусть х0
- предел переменной величины х,
то равенство
.
Эта формула выражает очень важное для
вычисления пределов правило: если
функция непрерывна, то при отыскании
ее предела можно вместо аргумента
подставить его предельное значение.
Пример 2. Вычислить
Решение:
При
х
= 1 дробь
|
.
определена,
так как ее знаменатель отличен от
нуля. Поэтому для вычисления предела
достаточно заменить аргумент его
предельным значением. Тогда получим
.Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях:
Если функция при х = а не определена;
Если знаменатель дроби при подстановке х = а оказывается равным нулю;
Если числитель и знаменатель дроби при подстановке х = а одновременно оказываются равными нулю или бесконечности.
В таких случаях пределы функций находят с помощью различных искусственных приемов.
Раскрытие
неопределенности вида
С отношением двух
бесконечно больших величин мы встречаемся
в выражениях типа
,
где Pn
(x) и Qm
(x) -
многочлены. При вычислении предела
необходимо избавиться в числителе либо
в знаменателе от бесконечно большой
величины. Для этого делим числитель и
знаменатель дроби на старшую степень
числителя (либо знаменателя).
Пример 3. Вычислить
Решение: необходимо разделить числитель и знаменатель на старшую степень числителя х6.
Пример 4. Вычислить
Решение: необходимо разделить числитель и знаменатель на старшую степень многочленов - х5.
|
.
.
.
.
Раскрытие
неопределенности
В
некоторых случаях при вычислении
пределов вида
после подстановки а
– предельного значения для х
получается неопределенность 0/ 0, т.е.
f(a)
= 0 и
q(a)
= 0.
Приемы раскрытия неопределенности вида 0/0:
Пусть f(х) и q(х) – многочлены. Если f(a) = 0 и q(a) = 0, то число а является корнем данных многочленов, т.е. в разложении многочленов на множители будет присутствовать сомножитель (х – а). Сократив дробь на (х – а), получаем новое выражение, предел которого равен пределу исходного.
Пример 5. Вычислить
Решение:
|
.
Если f(х) и q(х) содержат иррациональность, то избавившись от иррациональности, нужно перейти к приему 1).
Пример 6. Вычислить
Решение:
|
.
В случае, если неопределенность 0/0 содержит тригонометрические функции, обычно для ее раскрытия используется 1ый замечательный предел.
|
Пример 7. Вычислить
Решение:
|
.
.
Раскрытие
неопределенности вида
Для ее раскрытия используется 2ой замечательный предел.
|
Пример 8. Вычислить
Решение:
|
.
Контрольная работа №1
Вычислите пределы:
Вариант 1
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 2 1)
;
2)
;
3)
;4)
;
5)
.
Вариант 3 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 4 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 5 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 6 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 7 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 8 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 9 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вариант 10 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Вопросы для повторения:
Дайте определение предела функции в точке.
Перечислите свойства пределов.
Дайте определение непрерывной функции.
Какие пределы называются односторонними?
Каких видов бывают точки разрыва функции?
Сформулируйте и запишите первый и второй замечательные пределы.
Объясните основной метод раскрытия неопределенности ( 0/0 ).