§ 3.6. Основные свойства и вычисление
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Простейшие свойства определенного интеграла
2. Подстановка в определенном интеграле
3. Вычисление определенных интегралов
1. Простейшие свойства определенного интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. При этом будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].
1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть
f
(x)
= F'(x)
и, значит,
Тогда
(2).
(3).
Правые части равенств (2) и (3) равны; следовательно, должны быть равны и левые части, т. е. справедливо соотношение (1).
Это свойство позволяет рассматривать интегралы, в которых верхний предел меньше нижнего.
Найти
Решение.
|
2. Постоянный
множитель можно вынести за знак
определенного интеграла, т.
е.
где k
—
постоянная
величина.
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т. е.
4.
Если
а, b,
с принадлежат интервалу, на котором
функция f
(х) непрерывна, то
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F (x) – первообразная функции для f(x) . Тогда
2. Подстановка в определенном интеграле
Для вычисления определенного интеграла с помощью подстановки поступают так же, как и при вычислении неопределенного интеграла этим способом. Однако в случае определенного интеграла имеется одна особенность, на которую следует обратить внимание.
Как мы отмечали, метод подстановки заключается в том, что для приведения заданного неопределенного интеграла к табличному выражают аргумент через новую переменную, а затем находят неопределенный интеграл и полученный результат снова выражают через первоначальную переменную. В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной, однако нужно помнить, что, заменяя переменную под знаком интеграла, следует изменить и пределы интегрирования.
Найти
Решение. Воспользуемся
подстановкой u
= 1 – cosx,
откуда du
= sinxdx.
Затем найдем новые пределы интегрирования;
подставляя в равенство u
= 1 – cosx
значения
|
,
соответственно получим
.
Запись решения выглядит так:
3. Вычисление определенных интегралов
Вычислить определенные интегралы, используя определение, их свойства и метод подстановки.
1)
Решение.
2)
Решение.
3)
Решение.
Контрольная работа №3.
Вычислите:
Вариант 1.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 2.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 3.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 4.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 5.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 6.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 7.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 8.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 9.
1)
2)
3)
4)
5)
Вариант 10.
1)
2)
3)
4)
5)
Вопросы для повторения:
Что является основной задачей интегрального исчисления?
Какая функция называется первообразной для заданной функции?
Если F(x) — первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?
Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?
Почему при интегрировании функций появляется произвольная постоянная?
Как записать всю совокупность первообразных функций?
Что называется неопределенным интегралом?
Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?
Почему интеграл называется неопределенным?
Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла?
11. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?
В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?
Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?
Напишите основные формулы интегрирования.
Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?
Как проверить результат интегрирования?
В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?
Что такое определенный интеграл?
20. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
Литература:
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2004
Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика: Учебное пособие. – М.: ИКТЦ "Маркетинг", 2002.