Расчет параметров контрольных карт Шухарта Контрольная карта Шухарта средних значений для количественных данных по гост р 50779.42-99

Рассмотрим расчет нескольких наиболее важных для практического применения контрольных карт Шухарта.  На рис.4.1 показана КК Шухарта  с использованием  количественных данных для среднего значения  ( -карта).

 

Рисунок 4.1  Контрольная карта Шухарта для среднего значения

 

Алгоритм действия контрольной карты Шухарта средних значений сводится к формированию выборок объемом n измерений в каждой, взятых через определенный интервал времени (в простейшем случае конец предыдущей выборки  является началом следующей), вычислении выборочных средних  по формуле точечной оценки среднего   (3.10)  и сравнении полученных результатов с нижней и верхней границами карты.

Как видно из рис.4.1, расчет параметров КК сводится к  определению центральной линии (СL), нижней (LCL) и верхней (UCL) контрольных границ. Этот расчет производится для различных  вариантов наблюдения. Главным условием возможности использования КК является  условие нормальности распределения наносимых на карту точек. Если есть уверенность, что одиночные значения результатов измерений распределены по нормальному закону, то на карту могут быть нанесены эти одиночные значения. Если же такой уверенности нет, то на карту следует наносить результаты усреднения не менее четырех  сгруппированных  в одну «мгновенную» выборку точек. В этом случае в соответствии  с  центральной предельной теоремой теории вероятностей при  любом виде распределения исходных одиночных измерений в результате процедуры усреднения группированных данных  средние «мгновенных» выборок будут распределены по закону, близкому к нормальному (мгновенность выборки предполагает, что за время ее образования процесс не успевает измениться). Предположим, что стандартное отклонение исходных одиночных измерений   известно. Такая ситуация может сложиться,  когда полностью известна точность используемого в ТП оборудования,  а также точность параметров материалов и комплектующих. Пусть также задан известный   из технических условий центр настройки ТП . В этом случае центральная линия КК берется равной , а  верхняя и нижняя границы формируются в соответствии с формулами

 

                                                                                                                 (4.1)

 

 

                                                                                                                 (4.2)

 

Здесь  - центр настройки карты  CL, а величина коэффициента    выбирается  в соответствии с выражением для доверительного интервала  (3.25), где квантиль  принимается равным 3.  С учетом  (3.25) соотношения   (4.1) и  (4.2)  принимают вид

 

                                                                                                                 (4.3)

 

 

                                                                                                                 (4.4)

 

Вычисление доверительной вероятности нахождения анализируемого процесса между границами UCL и LCL  по формуле (3.17) дает  0.9973 и соответственно 0.0027.  Отметим, что в картах Шухарта не акцентируется внимание на величинах вероятностей, они получаются такими, какие следуют из задания шестисигмового  интервала для процесса, находящегося в стабильном состоянии.

Рассмотрим расчет параметров КК, когда неизвестны центр настройки  и  дисперсия процесса . Такая ситуация складывается, если технические условия процесса не определены: неизвестна точность оборудования, а также параметров материалов и комплектующих, с которыми работает ТП.  В этом случае расчет  КК  производится по формулам (константы в формулах обозначены в соответствии с ГОСТ)

 

                                                                                                                                 (4.5)

 

 

                                                                                                                       (4.6)

 

 

                                                            .                                                          (4.7)

 

Здесь  - среднее значение выборочных средних , полученных в результате усреднения мгновенных выборок, - оценка стандартного отклонения, рассчитываемая по формуле

 

                                                         .                                                        (4.8)

 

Величина коэффициента  в   (4.6) и  (4.7) определяется исходя из следующих соображений.  Оценка стандартного  отклонения  является случайной величиной, зависящей от   и  . Зная,  что распределения   и   гауссовские,  зная также функциональную связь между этими величинами и  , определяемую формулой  (4.8), можно найти распределение случайной величины  . Зная распределение s, можно на определенном уровне значимости заменить в формулах  (4.3) и  (4.4)  на s,  введя коэффициент ,  связывающий эти две величины [4]:

 

                                                                .                                                              (4.9)

 

Очевидно, что величина коэффициента   меньше единицы, зависит от n  и приближается к единице по мере роста n. Значение коэффициента  для разных n  приведено в  таблице 2  ГОСТ Р 50779.42-99.  Подставив  (4.9) в  (4.3) и  (4.4), и заменив здесь  на  , получим представление соотношений  (4.6) и  (4.7) в виде

 

                                                                                                             (4.10)

 

 

                                                        .                                                     (4.11)

 

Отсюда следует

 

                                                               .                                                           (4.12)