Расчет вероятности годности производимой продукции
Рассмотрим расчет вероятности годности на примере радиоэлектронной аппаратуры (РЭА). Любое радиоэлектронное изделие характеризуется определенными в ТУ электрическими выходными параметрами (параметрами качества) с указанием допусков на них. Изделие может состоять из большого числа составляющих его элементов, на каждый из которых в свою очередь задан свой допуск. Рассмотрим как влияет разброс параметров элементов на результирующие параметры изделия и какие разбросы параметров элементов допустимы, чтобы выходной параметр изделия оставался внутри своей допусковой зоны.
Обозначим выходной параметр изделия
.
(5.1)
Здесь
-
значения параметров элементов
(сопротивления, конденсаторы, индуктивности
и т.д.), которые формируют величину q.
Если бы все эти элементы обладали
номинальными значениями параметров,
то и выходной параметр также имел бы
номинальное значение. Однако в реальном
случае элементы обладают значениями
параметров, которые отличаются от
номинальных. В результате выходной
параметр q получает приращение от своего
номинального значения, которое можно
вычислить по формуле
(5.2)
Такая
запись неудобна тем, что каждое из
слагаемых в (5.2)
имеет свою размерность. Чтобы перейти
к безразмерным приращениям, поделим
правую и левую части в (5.2)
на q, а каждое слагаемое в правой части
дополнительно поделим и домножим на
.
В результате получим
.
(5.3)
Введем коэффициент влияния
.
С учетом данного обозначения (5.3)
представляется в виде
.
(5.4)
Отсюда
ясен физический смысл коэффициента
влияния – это отношение относительного
изменения выходного параметра к
относительному изменению входного.
Если эти изменения одинаковы,
.
Если
-
гауссовская случайная величина, что
справедливо для многих практических
задач, то и
является
гауссовской случайной величиной. Для
полного статистического описания этой
случайной величины достаточно определить
ее среднее значение и дисперсию. На
основании (5.4)
и при условии, что средние относительные
отклонения элементов от их номинальных
значений равны нулю, запишем
.
(5.5)
Полученный результат показывает, что
среднее относительное отклонение
выходного параметра от его номинального
значения равно нулю при условии, что
среднестатистические отклонения
формирующих этот параметр элементов
также равны нулю
.
Найдем
дисперсию выходного параметра. Для
упрощения выкладок введем следующие
обозначения:
,
.
В соответствии с определением дисперсии
запишем
=
=
.
Введем коэффициент корреляции относительных отклонений элементов
.
(5.6)
В результате
.
(5.7)
Отметим,
что при независимых относительных
отклонениях элементов коэффициент
корреляции
и
.
(5.8)
Таким образом среднее значение и дисперсия относительного отклонения выходного параметра от его номинального значения определены и тем самым полностью определено производственное распределение параметра качества. Для практического использования соотношения (5.8) при вычислении дисперсии выходного параметра требуются значения дисперсий элементов, составляющих изделие. Чтобы найти эти дисперсии введем в рассмотрение коэффициент рассеяния величины для произвольного i – го элемента
.
(5.9)
Здесь
-
относительный допуск на параметр
элемента, известный из ТУ или по маркировке
на самом элементе. Отсюда следует
(5.10)
После подстановки (5.10) в (5.7) и извлечения корня из полученного равенства имеем
.
(5.11)
(5.11) представляет собой производственный допуск на относительную точность произвольного параметр качества изделия. Если домножить этот допуск на номинальное по ТУ значение параметра качества, получим абсолютное значение производственного допуска.
Вероятность годности. Выражение производственного допуска на выходной параметр изделия (5.11) позволяет выполнить анализ точности производства в части, касающейся влияния разброса элементов на разброс выходного параметра (влияние технологии на точность производства анализируется в принципе также, но тем не менее этот вопрос является предметом отдельного рассмотрения). Пользуясь соотношением (5.11), можно оценить влияние разброса каждого комплектующего на конечную точность параметра качества и в результате выбрать такой состав комплектующих, который обеспечит желаемый разброс параметра качества. Сравним полученный производственный допуск с допуском по ТУ на выходной параметр. Если выполняется неравенство
,
(5.12)
то принято говорить, что в производстве
достигается воспроизводимость.
При этом вероятность годности изделия
зависит от величины коэффициента
рассеяния
,
используемого в соотношении (5.11).
Так, если этот коэффициент выбран равным
1/3, то вероятность годности будет равна
0.997 и в случае выполнения неравенства
(5.12)
можно говорить о достижении воспроизводимости
с вероятностью 0.997. (Отметим, что по
умолчанию коэффициенты рассеяния на
элементы
в
соотношении обычно принимаются равными
1/3).
Определим
вероятность годности изделия
в
общем случае, вне зависимости от величины
коэффициента рассеяния на выходной
параметр. Поскольку выходной параметр
качества полностью статистически
определен, эта вероятность легко
находится путем интегрирования
распределения данного параметра в
пределах допусковой зоны по ТУ. Т.е.
(5.13)
Здесь
-
дисперсия параметра, задаваемая
соотношением (5.7),
-
половина поля допуска на относительное
изменение параметра по ТУ. Для удобства
дальнейших вычислений удобно представить
(5.13)
в виде введенного в п.3.3
интеграла вероятности. С этой целью
используем следующую замену переменных
в (5.13):
.
В результате этой замены получим
.
(5.14)
Данное соотношение позволяет оценить потенциальную вероятность годности изделия еще до того, как оно запущено в производство, на основании данных о точности входящих в состав изделия комплектующих.