16.3. Суперчастица

16.3.1. Действие — калибровочные симметрии

Действие, описывающее безмассовую суперчастицу, определяет­ся выражением [64]

s[v, х^Л, e] = -yjF~Vo)_i4rfT, (16.3.1.1)

где

_{e (16.3.1.2)}

Оно является очевидным расширением действия безмассовой бесспиновой релятивистской частицы. Здесь V—"айнбайн", X* (Л =0,1, ..,, 9)—координаты частицы и 8 — внутренняя сте­пень свободы, для простоты удовлетворяющая майорана-вейлев-скому условию.

При усечении суперструны в нульмодовый сектор путем от­брасывания высших мод получаем действие (16.3.1.1). Поэтому это действие представляет основное состояние суперструны, и очевидна важность понимания его динамики.

Интересной чертой суперчастицы является иллюстрация на примере этой простой модели основных затруднений, возникаю­щих при ковариантном квантовании суперструны.

Действие (16.3.1.1) инвариантно при репараметризациях

= 80, (16.3.1.3а)

eV + sV = (bV)\ (16.3.1.36)

а также при калибровочных фермионных преобразованиях, ана­логичных (16.1.3.5) [61]:

(16.3.1.4а)

е, (16.3.1.46)

(16.3.1.4b)

где мы положили © =

Уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид

—0, (16.3.1.5а)

= 0, (16.3.1.56)

Суперструна 259

66 = 0. (16.3.1.5в)

Из уравнения (16.3.1.5а) видно, что оИ — изотропный вектор. Следовательно, матрица со нильпотентна и не может быть об­ращена, что полностью аналогично соответствующему факту для суперструны.

Уравнение (16.3.1.5в) означает, что

e = tos, (16.3.1.6)

поскольку ядро оператора ш совпадает с его образом, если вектор со⁴ изотропен; это свойство мы уже использовали. Инте­грирование уравнения (16.3.1.6) дает

е(т)==е_о + ш^(т), (16.3.1.7)

где <j> -{- (V/V)<j>~s. Спинор ^(т) не определяется уравнениями движения, что согласуется с калибровочной инвариантностью (16.3.1.4).

Из уравнений (16.3.1.6) и (16.3.1.5а) следует, что фермион-ные калибровочные преобразования (16.3.1.4) являются избы­точными на связях. Если х=юе, то 6_хб и ЬуХ^л, очевидно, об­ращаются в нуль, a 6_KV принимает вид

Как указали Грин и Шварц [56], действие обладает также бо-зонной инвариантностью:

б_х9==лё, (16.3.1.8а)

б^ = гв\Иб_хе, (16.3.1.86)

6_ХУ = О, (16.3.1.8в)

возникающей при попытке замкнуть алгебру преобразований (16.3.1.3) и (16.3.1.4). Но преобразования (16.3.1.8) отличаются от (16.3.1.4) лишь членами, обращающимися в нуль при исполь­зовании уравнений поля. Это можно показать тем же способом, что и в случае суперструны. Поэтому система (16.3.1.8) не дает ничего нового.

16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре

Действие инвариантно при глобальных суперпреобразованиях Пуанкаре

66 = -j в>_АВу^лвв + е, (16.3.2.1а)

А_ш (16.3.2.1 б)

260 Глава 16

Непосредственное применение теоремы Нётер дает суперзаряды Пуанкаре

Р^А = — 7~V, (16.3.2.2а)

_млв _{= р[}л_хв] _ i_p_c§_yABc_Qt (16.3.2.26)

(16.3.2.2b)

16.3.3. Гамильтоное формализм

Поскольку теория обладает калибровочными инвариантностями, следует ожидать появления связей в гамильтоновом форма­лизме.

Импульсы, сопряженные V, Х^А и 0, имеют вид

р₇ = 0, (16.3.3.1)

V~¹® P_A, (16.3.3.2)

(16.3.3.3)

Выражения (16.3.3.1) и (16.3.3.3) определяют первичные связи:

р^ = 0, (16.3.3.4а)

X еэ А» + Ю0 = 0. (16.3.3.46)

Гамильтониан определяется выражением

Я = V_Pv + X^Ap_A J ё

_у

_{7^ + Я + (^ + ^ ^' (16.3.3.5)}

где К и |i — лагранжевы множители (к — скаляр, а ц — майора-на-вейлевский спинор).

Сохранение во времени первичной связи p_v =0 приводит к вторичной связи

{ = о (16.3.3.6)

(условие массовой поверхности).

Сохранение во времени связи (16.3.3.46) налагает условие на множитель ц:

= 0 -> p\i = 0 ^ jLt = jov. (16.3.3.7)

Гамильтониан сохраняет во времени вторичную связь (16.3.3.6), поэтому "алгоритм согласованности" заканчивается.

Суперструна 261

Так как пара (p_Vj V) есть чистая калибровка, импульс p_v можно опустить и рассматривать V как лагранжев множитель для связи (16.3.3.6). Поэтому суперчастица описывается кано­ническими парами (Х^л, р_А) и (6, ре), удовлетворяющими соот­ношениям

[Х\ р_в] = Ь^А_Ву (16.3.3.8а)

(16.3.3.86)

(где теперь а — спинорный индекс), связями (16.3.3.6) и (16.3.3.46) и гамильтонианом

H = ~j Vp_Ap^A + p_Qpv. (16.3.3.9)

В последнем выражении множитель V переопределен, чтобы получить более простой вид для Я.

Гамильтониан слабо обращается в нуль, что соответствует общековариантным системам.