- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
13.1.3. Алгебра Вирасоро
Наша стратегия построения квантовой алгебры операторов Вирасоро состоит в следующем. Единственной причиной, по которой квантовая алгебра отличается от своего классического аналога, умноженного на ih, является наличие в выражении [Lm, Ln] — (tn — n)Lm+n членов, которые сокращают друг друга на классическом уровне, но не делают этого в квантовомеханическом случае вследствие различного упорядочения.
Далее, оператор Lm+n квадратичен по основным переменным и приведен к нормальному виду в соответствии с нашим выбором пространства Фока. Поэтому квантовые эффекты могут проявиться только в том случае, когда коммутатор [Lm,Ln], тоже квадратичный по основным переменным, не является нормально упорядоченным. Это означает, что центральный заряд равен члену, возникающему при нормальном упорядочении
Поскольку мы знаем классический вид коммутатора, иам нужно просто найти "аномальный" член. Более того, мы ожидаем— это легко проверять — появления ненулевого центрального заряда только тогда, когда Lm+n = Lq, т. е. п = —т, поскольку неоднозначность упорядочения проявляется только в операторе Lo.
Следовательно, мы вычисляем [Lm, L-m] при т > 0:
[L<m, L, _т\
= НУ + Т S (m~k)k{m-s)s (ak • a9sbkt s + ak- anm_fim_kt s),
(13.1.3.1)
где НУ—нормально упорядоченное выражение, точный вид которого нас здесь не интересует, поскольку оно не используется при вычислении центрального заряда.
Заметим, что второй член в правой части выражения (13.1.3.1), хотя и не приведен к нормальному виду, тем не менее хорошо определен в пространстве Фока, поскольку сумма содержит лишь конечное число слагаемых. (Важно проводить вычисления таким образом, чтобы появляющиеся на любом этапе выражения были хорошо определены в выбранном пространстве представления. Это гарантируется использованием нормального упорядочения. Если бы мы выбрали другое пространство представления, например соответствующее "антинормальному упорядочению", то вычисления проводились бы по-другому и мы получили бы другой центральный заряд.)
156 Глава 13
Нормальное упорядочение уравнения (13.1.3.1) сразу дает
[Lm, /-„] = НУ + 4" К - т) (13.1.3.2)
d ИГ
(мы использовали тождество 6 ХА=1 (т — k) k — m (m — 1) (m-j-1) d появляется из следа г]^ при суммировании по всем осцилляторам).
Итог этих вычислений состоит в том, что квантовая алгебра Вирасоро действительно приобретает аномальный ^-числовой член, пропорциональный размерности пространства-времени:
[Lmt 1№]^(т~п)Ьт+п^^-(т3~т)дт^п. (13.1.3.3)
Упражнения
Вычислите центральный заряд в (простом) представле нии, ассоциированном с антинормальным упорядочением. Пока жите, что хотя величины Ln и не меняются (пфО), получается противоположное значение (—d/\2) (m3— т)6т,~п-
Можно ли устранить центральный заряд в уравнении (13.1.3.3) путем переопределения величин Lm: Lm->-Lm-\- am, где ат — постоянные?
Докажите, что выражение для центрального заряда, за даваемое уравнением (13.1.3.3), является наиболее общим (с точностью до тривиального переопределения Lm-^ Lm + am)-
Указания, а. Покажите, что путем выбора ат в выражении [Lm,Ln]=(m — n)Lm+n + kmn (при kmn = — knm) можно получить kom = Q; при этом величина а0 остается неопределенной.
б. Запишите ограничения на kmn, следующие из тождества Якоби.
в. Положите один индекс в тождестве Якоби равным нулю и выведите отсюда, что kmn =0 при п Ф—т (с учетом того, что кш = 0), т. е. kmn = k (т) 6т, -п (т > 0).
г. Покажите, что k(m) удовлетворяет соотношению
(п — т) k (т + п) + (2л + m)k (т) — (2т + п) k (п) = 0. Выберите ао так, чтобы &(1) = 0. Получите искомое значение