Глава 3

Спиновые струны

Представление алгебры Пуанкаре, полученное в предыдущей главе, приводит к непоследовательной теории. Чтобы получить последовательную теорию, нужно так изменить выражение для р- (2.50), чтобы не возникало тахионов. Наиболее простым спо­собом это можно сделать, если ввести набор антикоммутирую­щих гармонических осцилляторов таким образом, чтобы их ва­куумные флуктуации компенсировали вакуумные флуктуации коммутирующих осцилляторов.

Прежде всего нужно решить, в каком представлении попе­ речной группы симметрии SO(d — 2) выбрать новые осцилля­ торы. Координаты х^ принадлежат векторному представлению. Мы всегда можем выбрать это же представление и для нового набора координат. Так мы и сделаем сначала, но мы должны помнить, что при некоторых значениях d — 2 существуют и другие представления с той же размерностью, что и векторное представление. '

Следовательно, рассмотрим набор антикоммутирующих гар­монических осцилляторов d\ удовлетворяющих условию

Предположим, что соответствующая массовая формула в случае открытых струн имеет вид

«У = - ( S а'_Х + £ ndlA; (3.2)

тогда мы можем вывести отсюда выражение для рг. Это выра­жение можно записать в координатном базисе, если мы введем разложения по модам

оо

ть

(3.3)

оо

(3.4)

30 Глава 3

такие, что

{X^Ai (а, т), X^Bi (а\ т)} = яб^'б (а - с/). (3.5)

Тогда формула для генератора р- (на классическом уровне) имеет вид

я

_Ц

(я²р'² + jc"³ - /Я^Я'¹' + iX²ⁱX'²ⁱ). (3.6)

Прежде чем мы построим остальные генераторы, рассмот­рим динамику, которая следует из выражения (3.6). Поскольку

д 1 /. д \ 1

1 I I

1 /.

р⁺ К

т1 I I

⁺ р⁺ К дх ) р⁺

I

дх^ р" V дх соответствующее действие имеет вид

я

Iff 2jcJ J 14 a (j i™ P a J> К • )

О

где Я¹', X²ⁱ объединены в двухкомпонентный спинор и исполь­зованы 2Х2-матрицы Дирака р^а в майорановском представ­лении. В последовательной теории поверхностные члены, кото­рые возникают при варьировании выражения (3.7), должны быть равны нулю. Мы получим отсюда граничные условия для Я'", которые в случае открытых струн имеют вид

Я¹' (0, т) = Я²' (0, т), (3.8)

ГЯ«(я, т), (3.9а)

Л (я, т)-| _ д.2' (л, т). (3.96)

Оказывается, что существуют две возможности — (3.9а) и (3.96). В первом случае граничные условия и уравнения дви­жения приводят к решениям з виде (3.3) и (3.4). Мы знаем, что в этом секторе не существует тахионов. Во втором случае мы приходим к разложениям

(3.10) (3.11)

г

в которых индекс г пробегает все полуцелые значения. Осцил­ляторы Ь¹_Г удовлетворяют антикоммутационному соотношению

(3.12)

Спиновые струны 31

Условие массовой поверхности (на классическом уровне) в этом случае записывается в виде

оо оо

ЦЬ[. (3.13)

г= 1/2

Вычисление вкладов вакуумных флуктуации дает¹)

,2 — ^ц ~ *

^Ео 2

(У — 2

оо

оо

(в последнем выражении расходящийся ряд перенормирован). Мы снова получаем тахион! Следовательно, этот сектор модели является нефизическим, и если на основе такой модели по­строить теорию взаимодействий, то в ней возникнут противо­речия.

Введенные только что состояния, которые порождаются ос­цилляторами d и b_t а также а-осцилляторами, фактически об­разуют спектр модели Района — Неве — Шварца [7,8]. Те со­стояния, которые построены из ^-осцилляторов, ведут себя кек фермионные и образуют сектор Рамона, тогда как состояния, построенные из 6-осцилляторов, которые являются бозонами, образуют сектор Неве — Шварца. В модели, содержащей и фер-мионы, и бозоны, должны присутствовать оба сектора.

Существует метод усечения спектра, приводящий к теории без тахиона. Такой метод, как было показано [24], остается непротиворечивым и при учете взаимодействий. Рассмотрим проектор

_{[2*A] (3.15)}

Требуя, чтобы этот проектор обращал в нуль физические со­стояния,

Р|физ) = 0, (3.16)

получаем спектр масс без тахиона. Ввести последовательно в теорию взаимодействие можно, если, кроме того, потребовать, что­бы спиноры были майорана-вейлевскими (так как критическая

^]) Используется формула: \ (п—— ) =(2^S— l)y n ^s. — Прим.

п=\ п=1

перев.

32 Глава 3

размерность равна 10, то такой выбор возможен). Это приво­дит к суперструнам, теория которых излагается в гл. 4.

Можно построить операторы алгебры Пуанкаре и показать, что на квантовом уровне алгебра замыкается только в том слу­чае, если d=10. Мы не будем приводить здесь формулы для генераторов, а отложим обсуждение этого до следующей главы.

В случае замкнутых струн существуют также два сектора, которые определяются тем, какие выбраны граничные условия. Первый сектор получается, если Л выбираются периодическими

по а. Это приводит к двум наборам осцилляторов d_n и d_n, индексы у которых принимают целочисленные значения. Второй сектор возникает, если считать, что Я—■ антипериодические функции а. В этом секторе также существует два набора осцил­ляторов Ь\ и Ь¹г, но с индексами г, пробегающими полуцелые числа. Второй сектор содержит тахион. Можно также получить

секторы, состоящие из осцилляторов d_n и Ъ\ или из d_n и ь\.

До сих пор мы рассматривали спиновую струну в калиб­ровке светового конуса. Конечно, этого вполне достаточно, как мы видели, но часто бывает полезно иметь ковариантный фор­мализм. Действительно, обобщение ковариантного действия (2.3) на случай спиновой струны также существует. Такое дей­ствие было построено по аналогии с супергравитацией [15]. Рассматривается двумерная супергравитация (на мировом ли­сте с координатами а, т), которая содержит репер Fa, связан­ный с метрикой gag, стандартным образом, и майорановский спинор ty_a — поле Рариты — Швингера. Действие записывается в виде

Т С S= —- ^ do

х {

^{ч + is y\% (^ ±}

(3.17)

Это действие имеет большую группу симметрии. Хотя это дей­ствие содержит члены с взаимодействием, с физической точки зрения теория, основанная на действии (3.17), есть просто сво­бодная теория поля. Возможно также, что если этому дей­ствию придать соответствующую интерпретацию, то оно может быть использовано и в других областях физики.

Действие (3.17) может быть проквантовано ковариантно, так же, как в случае бозонных струн. Локальными симметрия-ми действия являются репараметризационная инвариантность, вейлевская инвариантность и локальная суперсимметрия. Ана-

Спиновые струны 33 лиз связей по Дираку и фиксация калибровки в виде

£^ae = Tf^p, (3.18)

il>^a==0, (3.19) приводит к уравнениям движения

е - х"* = 0, (3.20)

= 0 (3.21)

вместе с условиями связи

Т ^дх%х^ + 1

р^ар«д_ах - X — 0. (3.23)

Ч д^ух% + ±1» (Д + ^) К = 0, (3.22)

Последующее наложение калибровок в виде (2.36) и (2.37), а также условие А,+ —0 приводит к калибровке светового ко­нуса.

Уравнения движения (3.20) и (3.21) могут быть легко по­лучены из действия [38]

^\ 4 (3.24)

Это действие отличается от действия (3.7) тем, что индекс по­лей пробегает d значений. (После разрешения связей и учета калибровок получаются d — 2 значения пространственно-вре­менного индекса.) Кроме того, мы ввели вспомогательное поле Fv(g,t) на мировом листе, чтобы действие обладало суперсим­метрией вне массовой поверхности:

^а* ¹, (3.25)

Используя этот факт, мы можем описывать струну в тер­минах «суперкоординат» [17,18}:

^ (а, т, е^л) = х* (а, т) + Ш* (а, т) + ~ №F (а, т). (3.26)

Это замечательный результат. Десятимерная спиновая плот­ность Я^и(ст, т) на мировом листе появляется вследствие рас­смотрения супермирового листа с координатами <т, т и 6^Л, где 8^А—двухкомпонентный спинор. Определим ковариантную про­изводную

^ d_ai (3.27)